Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Materiebølger==

På begynnelsen av 1920-tallet utforsket den franske fysiker [[Louis de Broglie]] muligheten for at partikler også kunne ha bølgeegenskaper på samme måte som lys. Det fikk han til å foreslå at en partikkel med energi ''E'' kan beskrives som en bølge med frekvens ''&nu; = E/h'' hvor ''h'' er [[Plancks konstant]]. Denne ide ble kort tid senere videreført av den østerrikske fysiker [[Erwin Schrödinger]] som så en sammenheng mellom disse [[Materiebølger|materiebølgene]] og bølgefrontene som finnes i Hamilton-Jacobi-ligningen.

Bølgen med amplitude ''&Psi;('''x''',t)'' for en partikkel med energi ''E'' vil da ha en bestemt vinkelfrekvens ''&omega; = 2&pi;&nu;'' slik at den har den harmoniske tidsavhengigheten

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \psi(\mathbf{x}) e^{-i\omega t}  </math>

hvor ''i = &radic;(-1)'' er den [[imaginær enhet]]. Hvis man antar at disse bølgene oppfyller den vanlige [[bølge]]ligningen

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over u^2}\! \left({\partial\Psi\over\partial t}\right)^2 = 0 </math>

hvor nå ''u = E/p'' er [[fasefart|fasehastigheten]], vil funksjonen ''&psi;('''x''')'' derfor måtte oppfylle den reduserte ligningen

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\psi + \Big({p\over\hbar}\Big)^2\psi = 0 </math>

hvor det er naturlig å ha innføre den reduserte Planck-konstanten   ''ħ = h/2π&thinsp;''. Men nå er for denne partikkelen ''p<sup>2</sup> = 2m(E - V)'' slik at ligningen kan skrives som

: <math> {-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2\psi + V(\mathbf{x})\psi = E\psi </math>

Dette er den stasjonære [[Schrödinger-ligningen]] som viser seg å være riktig for å beskrive partikler på atomært nivå der [[kvantemekanikk]]en erstatter den makroskopiske beskrivelsen. Man ser altså at klassisk mekanikk tilsvarer geometrisk optikk hvor de underliggende bølgeegenskapene ikke lenger viser seg.