Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

===Geodetiske linjer===

I et slikt fritt fallende koordinatsystem vil enhver fri partikkel følge en rett linje som er en [[geodetisk kurve]] i Minkowski-rommet. Denne bevegelsen er gitt ved [[differensialligning]]en

: <math> {d^2 x'^\alpha\over d\lambda^2} = 0 </math>

hvor ''&lambda;'' er en affin parameter proporsjonal med partikkelens [[egentid]]. Ved nå å benytte at koordinatene ''x'&thinsp;<sup>&alpha;</sup>'' avhenger av de globale koordinatene 
''x<sup>&thinsp;&mu;</sup>'', kan dette skrives som

: <math> {d\over d\lambda}\Big({dx'^\alpha\over d\lambda}\Big) = {d\over d\lambda}\Big({\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{dx^\mu\over d\lambda}\Big)  =  {\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{d^2 x^\mu\over d\lambda^2} + {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\nu}{dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} = 0 </math>

ved bruk av [[kjerneregelen]] for derivasjon. Multipliseres dette med ''&part;x<sup>&sigma;</sup>''/''&part;x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>'', forenkles resultatet slik at det kan skrives som

: <math> {d^2 x^\sigma\over d\lambda^2} + \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} = 0 </math>

Dette er differensialligningen for en [[geodetisk kurve]] i globale koordinater hvor

: <math>  \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu} = {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\nu}{\partial x^\sigma\over\partial x'^\alpha} </math>

er [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbol av andre sort]]. Det er symmetrisk i sine to nedre indekser og opptrer alltid ved derivasjon i [[krumlinjete koordinater]]. Med sine tre indekser kan det se ut som en [[tensor]], men det er det ikke da det ikke transformerer som sådan.<ref name = Carroll/>

I den geodetiske differensialligningen representerer det første leddet med den andre deriverte av koordinaten partikkelens [[akselerasjon]], mens det siste leddet med Christoffel-symbolet uttrykker gravitasjonskreftene som virker på den. De er derfor proporsjonale med kvadratet av partikkelens [[Kovariant relativitetsteori|firehastighet]] ''dx<sup>&mu;</sup>''/''d&lambda;''.