Redigerer Boltzmann-fordeling (avsnitt)

===Kvantemekanisk rotasjon===

Energien til en roterende partikkel er i [[kvantemekanikk]]en gitt ved egenverdiene til [[kvantisert dreieimpuls]]. For et lineært molekyl er disse gitt som 

: <math> E_\ell = {\hbar^2\over 2I} \ell(\ell + 1) </math>

hvor ''I&thinsp;'' er dets treghetsmoment og [[kvantetall]]et ℓ = 0, 1, 2 og så videre. Hvert av disse energinivåene har en degenerasjon {{nowrap|''g'' {{=}} 2ℓ + 1}} som tilsvarer de forskjellige retningene den kvantiserte dreieimpulsen kan ha i rommet.<ref name = Atkins>P.W. Atkins, ''Physical Chemistry'', Oxford University Press, England (1988). ISBN 0-19-855186-X.</ref>

Den kvantemekaniske partisjonspartisjonen til et molekyl er dermed

: <math> Z = \sum_{\ell = 0}^\infty (2\ell + 1)\, e^{-\ell(\ell + 1)T_c/2T} </math>

når man definerer en karakteristisk temperatur ved ''k<sub>B</sub>T<sub>c</sub>'' = ''ħ''<sup>&thinsp;2</sup>/''I''. Denne uendelige summen kan ikke gjøres eksakt. Men ved høye temperaturer forandrer hvert ledd seg lite når ℓ øker med 1. Man kan da med god tilnærmelse erstatte summen med et integral. Det kan lett beregnes 
ved å innføre den nye variable {{nowrap|''x'' {{=}}  ℓ(ℓ + 1)}} slik at {{nowrap|''dx'' {{=}} (2ℓ + 1)''d''ℓ.}}  Dermed blir

: <math>\begin{align} Z &=  \int_0^\infty \! d\ell (2\ell + 1)\, e^{-\ell(\ell + 1)T_c/2T} \\ &= {2T\over T_c} , \quad (T \gg T_c) \end{align} </math>

i overensstemmelse med det klassiske resultatet. Derimot for temperaturer vel under den karakterristiske temperaturen finner man nå et helt annet resultat.  De to første leddene dominerer da summen og man har

: <math> Z = 1 + 3e^{-T_c/T} , \quad (T \ll T_c) </math>

Bidraget til den indre energien blir 

: <math> U = - {\partial\over\partial\beta}\ln Z = 3k_BT_c \,e^{-T_c/T} </math>

som igjen gir et sterkt redusert bidrag til den spesifikke varmekapasiteten sammenlignet med den klassiske verdien.<ref name = Atkins/>

Den karakteristiske temperaturen  som skyldes rotasjon, er for de fleste diatomiske molekyl så lav at den klassiske verdien for deres spesifikke varmekapasiteter som følger fra ekvipartisjonsprinsippet, er gyldig i et vidt område over og under vanlige romtemperaturer. Men når ett av atomene er [[hydrogen]] som i HCl,  er dette så lett at det resulterende treghegtsmomentet ''I&thinsp;'' til molekylet blir tilsvarende mindre. Dermed blir den karakteristiske temperaturen høyere og kvanteeffektene mer synlige. Dette gjelder spesielt for det letteste molekylet, H<sub>2</sub> hvor også andre kvanteeffekter spiller en viktig rolle.