Redigerer Vektorrom (avsnitt)

== Underrom og undermengder ==
I et vektorrom kan en definere en rekke undermengder eller [[delmengde]]r:

=== Underrom ===
Et ''underrom'' er et vektorrom som er en delmengde av et annet vektorrom, og der operasjonene vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er felles.  En nødvendig forutsetning for at en mengde ''W'' skal være et underrom av et vektorrom ''V'' er at ''W'' inneholder nullelementet i ''V''.  I tillegg må ''W'' være lukket under vektoraddisjonen og skalarmultiplikasjonen.  

Alle underrom vil ha minst to underrom, nemmelig nullvektorrommet og vektorrommet selv.  Alle andre underrom enn disse to kalles ''ekte underrom''.  

I vektorrommet '''R'''<sup>3</sup> vil ethvert plan gjennom [[origo]] være et underrom.  Vektorer i planet kan skaleres og adderes, men vil fortsatt ligge i planet.   

Definerer en vektorrommet ''P''<sub>n</sub> som mengden av alle polynom av grad mindre eller lik ''n''-1, så vil ''P''<sub>i</sub> være et underrom av ''P''<sub>j</sub> når ''i'' < ''j''.

For en [[lineær transformasjon]] ''T(x)'' mellom to vektorrom ''V'' og ''W'' vil [[Lineær transformasjon#Nullrom|nullrommet]] til transformasjonen være et underrom i ''V''.   Nullrommet er mengden av alle vektorer i ''V'' som avbildes inn  på nullelementet i ''W''.   Dette må ikke forveksles med nullvektorrommet.

=== Konvekse mengder ===
I en [[konveks mengde]] i et reelt vektorrom er enhver vektor på linjesegmentet mellom to vektorer i mengden også inneholdt i mengden.<ref name=RDM4/>  Dersom '''u''' og '''v''' er to vektorer i mengden ''S'', så er ''S'' er konveks dersom

:<math>a \mathbf{u} + (1-a)\mathbf{v} \in S \qquad \forall a \in [0,1] </math>

Ethvert underrom er konveks, men en konveks mengde trenger ikke være et vektorrom.   Mengden av alle vektorer i '''R'''<sup>3</sup> med positive koordinater er konveks, men er ikke et vektorrom.
  
=== Kjegler ===
En [[kjegle]] i et vektorrom er en undermengde ''S'' som har egenskapen at dersom vektoren '''u''' ligger i ''S'', så ligger også skalarproduktet ''k'''''u''' i ''S'' for all ''k'' ≥ 0.  En kjegle som også er en konveks mengde kalles en ''konveks kjegle''.<ref name=RDM5/><ref name=TLS1/>

=== Affine underrom ===
La ''W'' være et underrom av vektorrommet ''V'' og la '''v'''<sub>0</sub> være en vektor i ''V''.  Mengden av vektorer

:<math>A = \lbrace \mathbf{u} = \mathbf{v}_0 + \mathbf{w} | \mathbf{w} \in W \rbrace \, </math>

er da et [[affint rom|affint underrom]] i ''V''.<ref name=FFB2/>  Begrepene affin [[mangfoldighet]] og ''lineær mangfoldighet'' blir også brukt.<ref name=TLS1/>  Et affint underrom vil generelt ikke være et vektorrom, da det ikke inneholder nullelement. 

Planet { (''x'',''y'',''z'') | ''x'' + ''y'' + ''z'' = 3 } er et eksempel på et affint underrom i '''R'''<sup>3</sup>.  Det følger definisjonen over ved å velge  '''v'''<sub>0</sub> = (1,1,1) og ''W'' = { (''x'',''y'',''z'') | ''x'' + ''y'' + ''z'' = 0 }.  I dette tilfellet er det affine underrommet ikke et vektorrom.