Redigerer Ugyldige bevis (avsnitt)

== Calculus (differensialregning) ==
=== 2 = 1 nok en gang ===

Ut fra den vanlige meningen av [[multiplikasjon]] har vi
:<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 \,</math>
Man ser også at for enhver ''x'' forskjellig fra null gjelder
:<math>x = 1_1 + 1_2 + \cdots + 1_x</math>
multipliser denne ligningen med ''x''
:<math>x^2 = x_1 + x_2 + \cdots + x_x</math>
Ta deretter den [[deriverte]] med hensyn på ''x''
:<math>2x = 1_1 + 1_2 + \cdots + 1_x</math>
Nå ser vi at høyre side er ''x'' som leder til
:<math>2x = x \,</math>
Siden ''x'' er forskjellig fra null kan vi dividere den ut og få
:<math>2 = 1 \,</math>

''Q.E.D.''

Problemet her ligger i linje to. Definisjonen av ''x'' antok at ''x'' var et heltall; ligningen gir ikke mening ellers. Funksjoner er kun deriverbare i et kontinuerlig rom f.eks. de reelle tallene, men ikke heltall. For en bestemt ''x'' er ligningen sann, men å derivere begge sidene må du ha en ligning av funksjoner og ikke heltall som vi har her. Høyresidefunksjonen <math>x + x + \cdots + x</math> med ''x''-leddene er ingen meningsfull funksjon av reelle tall og derfor ikke deriverbar.

I tillegg har vi følgende problem. Når vi deriverer i linje 4 tas den med hensyn på hvert ledd individuelt og ikke med hensyn på antallet ledd. Dette blir feil siden antallet ledd er derivasjonsvariabelen ''x''. [[Kjerneregelen]] anvendes ikke på denne siden av ligningen og dette er feil.

=== Bevis for at 0 = 1 ===

Start med beregningen av det [[ubestemte integral]]et
:<math>\int \frac{1}{x} dx</math>
Med delvis integrasjon la 
:<math>u=\frac{1}{x}, \quad dv=dx</math>
slik at
:<math>du=-\frac{1}{x^2}dx, \quad v=x</math>
som gir
:<math>\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx</math>
:<math>\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx</math>
som ved å samle like ledd blir
:<math>0 = 1 \,</math>

''Q.E.D.''

Feilen her ligger i uriktig bruk av [[delvis integrasjon]]. Når man anvender formelen må det legges til en tilfeldig konstant ''K'' på høyre side av ligningen. Dette kommer av utledningen av formelen for delvis integrasjon, som inneholder integreringen av en ligning. Vanligvis ser man bort fra denne konstanten helt til siste slutt, men her må konstanten legges til med en gang fordi de resterende integralene opphever hverandre.

Med andre ord er nest siste linje korrekt, men den siste linjen er ikke det. Du kan ikke fjerne <math>\int 1/x \,dx</math>fordi de nødvendigvis ikke er like. Det er uendelig mange antideriverte av en funksjon som alle skiller seg fra hverandre med en konstant. I dette tilfellet skiller konstantene seg med 1.

Problemet kan unngås hvis vi bruker [[bestemte integral]]er. I andre linje vil da 1 evaluert mellom noen grenser som alltid vil bli lik 1 - 1 = 0. De gjenstående integralene vil da være identiske.

=== Bevis for at 1 = 0 ===

Start med påstanden
:<math>x = 1\,</math>
Ta den deriverte på hver side,
:<math> \frac{d}{dx}x = \frac{ d}{dx}1 </math>
Den deriverte av x er 1 og den deriverte av 1 = 0, dermed.
:<math> 1 = 0\, </math>

''Q.E.D.''

Feilen i dette beviset er at x behandles som en variabel og ikke som en konstant som konstatert med x = 1, idet man deriverer den. Tar man den korrekte deriverte av konstanten x får man det riktige svaret 0 = 0.