Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

== Projektive transformasjoner ==
Hvis man betrakter det projektive planet som innlagt i det tredimensjonale rommet '''E'''<sup>3</sup>, vil de homogene koordinatene  {{nowrap|''x''<sub>''&mu;''</sub> {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} for et punkt '''x''' avhenge av dets plassering i forhold til koordinataksene. Forandres dets posisjon, vil koordinatene for hvert punkt også forandres eller transformeres. Da dette vil være [[lineær transformasjon|lineære transformasjoner]], vil de alminnelighet kunne skrives som {{nowrap|''x'&thinsp;''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>11</sub>''x''<sub>1</sub> + ''a''<sub>12</sub>&thinsp;''x''<sub>2</sub> + ''a''<sub>13</sub>&thinsp;''x''<sub>3</sub>}}&thinsp; og tilsvarende for de to andre koordinatkomponentene.
På [[matrise]]form kan disse tre uttrykkene sammenfattes som

: <math> \begin{bmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math>

eller mer kompakt som '''x'''' = ''A''&sdot;'''x'''&thinsp; hvor 3&times;3 matrisen  ''A''  inneholder 9 elementer som parametriserer transformasjonen. De tre koordinatene til punktet '''x''' inngår her i en kolonnematrise. Da disse koordinatene er homogene, kan alle elementene i transformasjonsmatisen ''A'' skaleres med samme faktor. Derfor inneholder den bare 8 fri parametre. De er fullstendig bestemt hvis man angir koordinatene til fire punkt før og etter transformasjonen. Det er fordi hvert punkt inneholder to frie variable. 

Slik transformasjonen er beskrevet her, er det en ''passiv'' transformasjon da det er planets orientering i forhold til det omsluttende rommet som forandres. Men den vil ha samme form hvis den betraktes som en ''aktiv transformasjon'' ved at planets orientering er uforandret, men selve punktets posisjon i planet forandres. 

Uansett interpretasjon, er dette formen for den mest generelle [[projektiv transformasjon|projektive transformasjonen]]. Den kalles også for en '''kollineasjon''' da den transformerer kollineære punkt på en linje til en rekke med kollineære punkt på en transformert linje. Det kan man se fra ligningen {{nowrap|'''n'''&sdot;'''x''' {{=}} 0}} for en slik linje før transformasjonen. Her må vektoren '''n''' for linjen da betraktes som en linjematrise, altså hvor komponentene {{nowrap|[''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>,''n''<sub>3</sub>]}} inngår horisontalt. Setter man så inn den inverse transformasjonen {{nowrap|'''x''' {{=}} ''A''<sup>&thinsp;-1</sup>&sdot;'''x''''&thinsp;}} i ligningen for linjen, forandres den til {{nowrap|'''n'''&sdot;''A''<sup>&thinsp;-1</sup>&sdot;'''x'''' {{=}} 0.}} Etter transformasjonen er derfor linjen gitt som {{nowrap|'''n''''&sdot;'''x'''' {{=}} 0}} med nye linjekoordinater '''n'''' = '''n'''&sdot;''A''<sup>&thinsp;-1</sup>. De transformerer derfor med den inverse matrisen.

Hvis den endelige delen av det projektive planet defineres ved ''x''<sub>3</sub> &ne; 0, vil en kollineasjon indusere en tilsvarende transformasjon mellom de euklidske komponentene {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''<sub>1</sub>/''x''<sub>3</sub>}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sub>2</sub>/''x''<sub>3</sub>}}. Den blir da ikke-lineær og får den eksplisitte formen

: <math> x' = {a_{11}x + a_{12}y + a_{13}\over a_{31}x + a_{32}y + a_{33}}, \;  \;  \;  y' = {a_{21}x + a_{22}y + a_{23}\over a_{31}x + a_{32}y + a_{33}}</math>

Det er slik den benyttes i billedkunst som fotografi og datagrafikk, for å gi perspektiv i bildet. Mest vanlig er det da å benytte et sentralperspektiv, som tilsvarer en mer spesialisert kollineasjon med 6 frie parametre i alminnelighet.

=== Affine transformasjoner ===
Når man betrakter den endelige delen av det projektive planet med ''x''<sub>3</sub> &ne; 0 og kun kollineasjoner med {{nowrap|''a''<sub>31</sub> {{=}} ''a''<sub>32</sub> {{=}} 0}}, vil ikke koordinaten ''x''<sub>3</sub>&thinsp; forandres. Man kan da sette {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} 1}} og velge {{nowrap|''a''<sub>33</sub> {{=}} 1&thinsp;}}. Den generelle transformasjonene tar den mer spesielle formen

: <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} </math>

Dette representerer en [[affint rom#Homogene koordinater|affin transformasjon]]. Det projektive planet kan på denne måten begrenses til å ha egenskaper i overensstemmelse med [[affin geometri]]. Den ideelle linjen {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} 0}} holdes da fast. To linjer som skjærer denne i samme punkt, sies å være parallelle. Og eksistensen av parallelle linjer er hva som karakteriserer et [[affint rom]].