Redigerer Kjeglesnitt (avsnitt)

== Analytisk definisjon og standardformer ==

Kjeglesnitt kan defineres analytisk ved hjelp av flere ulike typer koordinater, og definisjonen kan gjøres helt frigjort fra geometriske definisjoner av kjeglesnitt.   
Formen på ligningen vil avhenge av typen koordinater og det valgte koordinatsystemet.  

For hver type kjeglesnitt eksisterer det ''standardformer'' eller ''kanoniske former'' som presenterer kurvene på en enklest mulig form, definert ved et spesielt valg av koordinatsystem.  Standardformene for
nært knyttet til en geometrisk definisjon med bruk av brennpunkt og styrelinje: De fleste standardformene bruker en akse definert langs aksen i kjeglesnittet.  For et kartesisk legges den andre aksen
da parallelt med styrelinjen.  Definisjon av [[origo]] kan imidlertid variere for ulike standardformer.  

Et kvadratiske algebraisk uttrykk i to variabler <math>x</math> og <math>y</math> vil alltid framstille et kjeglesnitt, degenerert eller ekte, og ved en translasjon og en rotasjon vil ligningen alltid kunne
overføres til en av standardformene.  

===Polarkoordinater===
I figuren over til høyre er brennpunktet markert med bokstaven <math>F</math>, og styrelinjen er definert i avstanden <math>h</math> i fra brennpunktet. 
Det er naturlig å definere et [[polarkoordinatsystem]] med pol i brennpunktet og koordinatakse langs aksen til kjeglesnittet.  Et punkt <math>P</math> på kjeglesnittet er da definert ved polarkoordinatene
<math>(r, \theta)</math>.  Etter den geometriske definisjonen med styrelinje og brennpunkt skal radiusen <math>r</math> da være proporsjonal med avstanden fra styrelinjen til punktet <math>P</math>:

:<math>r = e (h + r \cos \theta) </math>

Dette er ligningen for et kjeglesnitt i polarkoordinater.  Lengden <math>h</math> erstattes ofte med lengden av korden <math>l</math> mellom to punkt på kjeglesnittet, gjennom brennpunktet [[vinkelrett]] på aksen.  
Denne størrelsen blir kalt ''latus rectum'', og halve denne lengden <math>p = l/2</math> blir kalt ''semi-latus rectum''.
Ved å sette <math>\theta = 90^\circ</math> følger det fra ligningen over at 

:<math>p \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ r(\theta = 90^\circ) = eh</math>

Polarformen for kjeglesnittet kan dermed skrives på formen

: <math> r = {p\over 1 - e\cos \theta} </math>

''Toppunktet'' (vertex) i kjeglesnittet er skjæringspunktet mellom kjeglesnittet og aksen. Avstanden mellom brennpunktet og toppunktet er gitt ved lengden <math>g</math>:

:<math>g = r(\theta = -90^\circ) = \frac{p}{1+e} </math> 

===Skilleligningen===
[[Fil:Kegelschnitt-schar.png|280px|thumb|Kjeglesnitt med gitt verdi for ''p'' blir sirkel for eksentrisitet ''&epsilon;'' = 0,  ellipse med ''&epsilon;'' = 0,8, parabel for ''&epsilon;'' = 1 og gren av hyperbel når ''&epsilon;'' = 1,2.]]
''Skilleligningen'' er en standardform for ligningen for kjeglesnitt i [[Kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]]. 
Ligningen fremkommer ved å legge <math>x</math>-aksen langs aksen i kjeglesnittet, <math>y</math>-aksen parallelt med styrelinjen og origo i toppunktet til kjeglesnittet:

: <math> y^2 = 2px + (e^2 - 1)x^2 </math>

Navnet reflekterer at ligningen skiller klart mellom de forskjellige typer kjeglesnitt, avhengig av størrelsen til eksentrisiteten <math>e</math>. 

Ligningen kan utledes fra polarkoordinat-formen for kjeglesnitt, på kvadrert form:

:<math>r^2 = e^2 (h + r \cos \theta)^2 </math>

og ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

:<math>
\begin{alignat}{2}
 x &= g + r \cos \theta \\
 y &= r \sin \theta \\
 r^2 &= (x - g)^2 + y^2 \\
\end{alignat}
</math>  

===Kanonisk form for parabelen ===
[[File:Parabel params.png|thumb|Parametre for en parabel]]
En standardform for en parabel med toppunkt i origo og akse langs den positive <math>x</math>-aksen er gitt fra skilleligningen når eksentrisiteten er lik 1: 

: <math> y^2 = 2px </math>

Siden <math>e = 1</math> følger det at <math>l = h = 2p = 4g </math>, og standardformen kan presenteres ved hjelp av både latus rectum <math>l</math>, semi-latus rectum <math>p</math>
og abscissen til brennpunktet <math>g</math>.<ref name=LAW1/>  

For parabelen brukes i det videre <math>a = g</math>, i analogi med de andre to kjeglesnitt-typene. Merk imidlertid at <math>g</math> er en geometrisk lengde med lik definisjon for alle kjeglesnittene,
mens definisjonen av <math>a</math> varierer mellom kurvetypene.  

Direktrisen er for parabelen definert ved <math>y = -a</math>.

En alternativ standardform bruker et aksesystem med brennpunktet som origo:<ref name=LAW1/>

: <math> y^2 = 4a(x + a) </math>

Her er <math>a = g</math> som før definert som avstanden mellom brennpunktet og toppunktet.  Direktrisen er nå definert som <math>y = -2a</math>.

===Kanonisk form for ellipsen ===
[[File:Ellipse params.png|thumb|400px|Parametre for en ellipse]]
Det eksisterer to alternative standardformer for en ellipse, definert enten med origo i det ene brennpunktet eller med origo i ''sentrum'' av ellipsen.  Sentrum er definert som midtpunktet mellom
de to brennpunktene.   

Med origo i den ene brennpunktet er den kanoniske formen gitt som 

: <math> {(x - ae)^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1 </math> 

I denne formen brukes lengden av ''halvaksene'' som parametre.  Den store halvaksen <math>a</math> er halve korden som går gjennom de to brennpunktene, og den lille havlvaksen  <math>b</math> står
normalt på denne.  Brennpunktene ligger i <math>(0, 0)</math> og <math>(2ae,0)</math>.  Direktrisen svarende til det første brennpunktet skjærer <math>y</math>-aksen i <math>x = -a/e</math>, forutsatt
at <math>e</math> er større enn null.  

Sammenhengen med skilleligningen og med de geometriske lengdene kan en finne ved å bruke skjæringspunktene mellom ellipsen og aksene, samt definisjonen av semi-latus rectum.  
Toppunktene der ellipsen skjærer <math>x</math>-aksen er gitt ved
<math>(x - 

ae)^2 = a^2</math>, og ved å bruke lengden <math>g</math> mellom brennpunktet og toppunktet får en

:<math>
\begin{alignat}{2}
 g &= \frac{p}{1+e} = a (1-e) \\[3pt]
 a &= \frac{p}{1-e^2}
\end{alignat}
</math>

Fra definisjonen er semi-latus rectum <math>p</math> den positive ordinaten for <math>x = 0</math>:

:<math>
\begin{alignat}{2}
 p^2 &= [y(x=0)]^2 = b^2(1 - e^2) \\[3pt]
 b^2 &= \frac{p^2}{1-e^2} = ap
\end{alignat}
</math>

Ved isteden å bruke sentrum som origo, blir den kanoniske formen

: <math> {x^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1 </math>

I dette koordinatsystemet ligger brennpunktene i <math>(-ae,0)</math> og i <math>(ae,0)</math>.  Avstanden <math>ae</math> mellom sentrum og det ene brennpunktet blir kalt ''lineær eksentrisitet''.{{tr}}

===Kanonisk form for hyperbelen===
[[Fil:Hyperbel params.png|thumb|400px|Parametre for en hyperbel]]
For hyperbelen eksisterer det tre kanoniske former, én med origo i det ene brennpunktet og to med origo i sentrum.<ref name=LAW1/>  
Som for en ellipse er sentrum definert som midtpunktet mellom de to brennpunktene. 

Med origo i det ene brennpunktet er standardformen gitt som

: <math> {(x - ea)^2\over a^2} - {y^2\over b^2} = 1 </math>

I analogi med ellipsen definerer en også for hyperbelen to halvakser, der den største halvaksen er halve korden gjennom sentrum som forbinder to punkt på de to hyperbelgrenene. 
Parameteren <math>a</math> er lengden av denne halvaksen.  Toppunktene på de to grenene er gitt ved <math>(x - ea)^2 = a^2</math>.  Helt tilsvarende som for ellipsen har en sammenhengen

:<math>
\begin{alignat}{2}
 g &= \frac{p}{1+e} = a (e-1) \\[3pt]
 a &= \frac{p}{e^2-1} \\[6pt]
 p^2 &= [y(x=0)]^2 = b^2(e^2 - 1) \\[3pt]
 b^2 &= \frac{p^2}{e^2-1} = ap
\end{alignat}
</math>

Brennpunktene ligger i <math>(0, 0)</math> og <math>(2ae,0)</math>.  Direktrisen svarende til det første brennpunktet skjærer <math>y</math>-aksen i <math>x = -a/e</math>, forutsatt
at <math>e</math> er større enn null.  

Med origo i sentrum mellom brennpunktene er standardformen gitt som

: <math> {x^2\over a^2} - {y^2\over b^2} = 1 </math>

Brennpunktene ligger nå i <math>(-ae,0)</math> og i <math>(ae,0)</math>.  Hyperbelen har asymptotene <math>ay = \pm bx</math>.  Toppunktet til hyperbelen på den positive <math>x</math>-aksen
ligger på <math>x = a</math>, og det følger at parameteren <math>b</math> er lik lengden av halve den korden mellom asymptotene som tangerer hyperbelen i toppunktet.   

En hyperbel kalles ''ekvilateral'' eller ''likesidet'' dersom <math>a = b</math>.  Siden asymptotene i dette tilfellet står vinkelrett på hverandre, kalles hyperbelen i dette tilfelle også ''rektangulær''.
For en likesidet hyperbel brukes også en standardform som en får ved å rotere aksesystemet 45 grader:

:<math>xy = d^2</math>

Her er <math>2 d^2 = a^2</math>.  

===Kjeglesnittparametre fra standardformer===
Tabellen under gir en oppsummering av kjeglesnittparametre fra vanlige standardformer.  Som før er

* ''a'' og ''b'' lengder av store og lille halvakse
* ''c'' lineær eksentrisitet 
* ''e'' eksentrisiteten
* ''h'' avstanden mellom brennpunkt og direktrise
* ''p'' semi-latus rectum

{| class="wikitable"
! Kjeglesnitt
! Ligning
! ''e''
! ''c''
!  ''p''
! ''h''
! ''Brennpunkter''
! ''Direktriser''
|-
|  Sirkel
|| <math>x^2+y^2=a^2 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> a \,</math>
|| <math> \infty</math>
|| <math>(0,0)</math>
|| <math>  ... \, </math>
|-
|  Ellipse
|| <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} < 1 </math>
|| <math>\sqrt{a^2-b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}</math>
|| <math>(\pm ae,0) </math>
|| <math>x = \pm a/e </math>
|-
|  Parabel
|| <math>y^2= 4ax \,</math>
|| <math> 1 \,</math>
|| <math>  ... \, </math>
|| <math> 2a \,</math>
|| <math> 2a \, </math>
|| <math>(a,0)</math>
|  <math>x = -a</math>
|-
|  Hyperbel
|| <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} > 1</math>
|| <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
|| <math>(\pm ae,0)</math>
|| <math>x = \pm a/e </math>
|}

=== Standardligninger på parametrisk form ===

Samtlige av kurvene på standardform kan uttrykkes som en [[parameterfremstilling]].  Parabelen med toppunkt i origo er gitt ved

:<math>x(t) = at^2  \qquad   y(t) = 2at  \qquad  t \in (-\infty, \infty) </math>

Ellipsen med sentrum i origo er gitt ved

:<math>x(t) = a \cos t  \qquad   y(t) = b \sin t  \qquad  t \in [0, 2\pi) </math>

Hyperbelgrenen med positive <math>x</math>-verdier er definert ved

:<math>x(t) = a \cosh t  \qquad   y(t) = b \sinh t  \qquad  t \in (-\infty, \infty)  </math>