Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

===Eksempel===

En ball som blir kastet med hastighet ''v'' i en retning ''&theta;'' med ''x''-aksen, vil bevege seg i potensialet ''V'' = ''mgy'' når ''y''-aksen er rettet oppover og ''g'' er [[tyngdeakselerasjon]]en. Hamilton-Jacobi-ligningen for bevegelsen er da

: <math> \Big({\partial W\over\partial x}\Big)^2 + \Big({\partial W\over\partial y}\Big)^2 = 2m(E - mgy) </math>

Her er ''E'' = ''mv''<sup>&thinsp;2</sup>/2 ballens konstante energi og &part;''W''/&part;''x'' = ''mv''&thinsp;cos''&theta;'' dens bevarte impuls langs ''x''-aksen. Den fulle virkningsfunksjonen er dermed gitt ved integralet

: <math> W(x,y) = mvx\cos\theta + m \int_0^y\!dy\sqrt{v^2\sin^2\theta - 2gy} </math>

Impulsen langs ''y''-aksen er nå gitt som

: <math> p_y =  mv_y = {\partial W\over\partial y} = m \sqrt{v^2\sin^2\theta - 2gy} </math>

og blir null i en høyde ''y''<sub>''max''</sub> =  (''v''&thinsp;sin''&theta;'')<sup>2</sup>/2''g''&thinsp; der kvadratroten er null. I det punktet er ballens opprinnelige [[Kinetisk energi|kinetiske energi]] i ''y''-retningen gått over til ren [[potensiell energi]].

Ved å utføre integralet finner man virkningsfunksjonen som

: <math> W(x,y) = mvx\cos\theta - {m\over 3g}\big(v^2\sin^2\theta - 2gy\big)^{3/2} + {m\over 3g}(v\sin\theta)^3 </math>

Når den gis en serie med konstante verdier, vil den beskrive en serie krumme [[kurve]]r i ''xy''-planet. Ballen vil så bevege seg langs en [[parabel]] som overalt vil skjære disse kurvene [[vinkelrett]].