Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

==Euklidisk formulering==

Partisjonsfunksjonen for et generelt system kan regnes ut ved et veiintegral i imaginær tid ''&beta;ħ''. Igjen kan det enklest vises for en ikke-relativistisk partikkel i én dimensjon med Lagrange-funksjon

: <math> L = {m\over 2} \Big({dq\over dt}\Big)^2 - V(q) </math>

Ved å splitte opp tidsintervallet i ''N&thinsp;'' like store deler slik at ''&beta;ħ'' = ''N&epsilon;'', kan fullstendige sett med mellomtilstander innsettes på samme måte som i reell tid. Det gir

: <math>\begin{align} &Z(\beta) = \int_{-\infty}^\infty\! dq\, \langle q |e^ {-\beta\hat{H}} | q \rangle \\ &=  \int\!dq_1\cdots \int\!dq_N\langle q |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_{N-1} \rangle\cdots \langle q_2 |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_1 \rangle \langle q_1 |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q \rangle \end{align} </math>

hvor ''q'' = ''q<sub>N</sub>''.  Endepunktet for bevegelsen er derfor det samme som utgangspunktet. Det som var Diracs overgangsamplitude for to nærliggende tidsrom, blir nå

:  <math> \langle q_n |e^{-\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q _{n-1} \rangle  =   A\, e^{-\varepsilon[m(q_n - q_{n-1})^2/\varepsilon^2 + V(q_n)] /\hbar} </math>

der prefaktoren i dette tilfelle er 

: <math> A = \sqrt{m\over 2\pi\hbar\varepsilon} </math>

På samme vis gjenkjennes i eksponenten til amplituden den «euklidiske Lagrange-funksjonen»

: <math> L_E(q,\dot{q})  = {m\over 2} \Big({dq\over d\tau}\Big)^2 + V(q) </math>

når man betrakter ''q'' = ''q''&thinsp;(''&tau;'') som en funksjon av en imaginær tid {{nowrap|''&tau;'' {{=}} ''it''}}. Da er {{nowrap|''q<sub>n</sub>'' {{=}}  ''q''&thinsp;(''&tau;<sub>n</sub>''&thinsp;)}}  med {{nowrap|''&tau;<sub>n</sub>'' {{=}} ''n&epsilon;''}}.  Ved å la {{nowrap|''N'' &rarr; &infin;}} og {{nowrap|''&epsilon;'' &rarr; 0}} slik at {{nowrap|''N&epsilon;'' {{=}} ''&beta;ħ''}}, kan dermed partisjonsfunksjonen skrives som veiintegralet

: <math> Z(\beta) =  \int\! Dq \, \exp{\Big[- \int_0^{\beta\hbar}\! d\tau L_E(q,\dot{q})/\hbar \Big]} </math>

Integrasjonsmålet er i denne euklidske formuleringen nå

: <math>  Dq = A^N dq_1 dq_2 \cdots dq_N </math>

før den kontinuerlige grensen blir tatt. Veiene som det integreres over her, er '''periodiske''' i den forstand at {{nowrap|''q''(0) {{=}} ''q''(''&beta;ħ''&thinsp;)}} da partikkelen beveger seg fra et sted tilbake til samme sted ved et senere tidspunkt ''&beta;ħ&thinsp;'' i imaginær tid..<ref name = FH/>