Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

===Globale koordinater===

På en [[differensiell flategeometri|krum flate]] kan man i hvert lite område bruke [[euklidsk geometri]], men må benytte globale eller [[krumlinjete koordinater]] for å dekke større deler av flaten. Man kan gå frem på samme måte for et tidrom hvor der virker gravitasjonskrefter. Hvis man her kaller de lokale Minkowski-koordinatene for ''x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>'' og de globale for ''x<sup>&mu;</sup>'', vil man ha en funksjonssammenheng

: <math> x'^\alpha = x'^\alpha(x) </math>

som forbinder de lokale Minkowski-rommene med hverandre, avhengig av hvilken verdi man velger for de globale koordinatene ''x'' til området man betrakter.<ref name = GN/>  Denne sammenhengen er en koordinattransformasjon som man antar kan inverteres i hvert lokalt område. Den differensielle koordinatforskjellen

: <math> dx'^\alpha = {\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu} dx^\mu </math>

kan derfor inverteres å gi

: <math> dx^\mu = {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha} dx'^\alpha </math>

ved å benytte at

: <math> {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\nu} = {\partial x^\mu\over \partial x^\nu} = \delta^\mu_{\;\nu} </math>

hvor resultatet på høyre side er gitt ved et [[Kronecker-delta]] som er 1 eller 0 avhengig av om de to indeksene er like eller ikke.

Nå kan det kvadratiske linjeelementet uttrykkes i de nye koordinatene og blir

: <math> ds^2 = \eta_{\alpha\beta}dx'^\alpha dx'^\beta = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over \partial x^\nu} dx^\mu dx^\nu </math>

Man kan derfor skrive det som

: <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math>

hvor

: <math> g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over \partial x^\nu}\eta_{\alpha\beta} </math>

er den [[metrisk tensor|metriske tensor]] til hele tidrommet.<ref name = MTW/> Ved å løse [[Einsteins feltligninger|Einsteins gravitasjonsligning]] kan denne metrikken beregnes. Man kan da gjennomføre denne prosessen i motsatt retning ved å finne et lokalt område med Minkowski-koordinater ''x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>'' slik at metrikken der blir

: <math> \eta_{\alpha\beta} =  {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha}{\partial x^\nu\over \partial x'^\beta}g_{\mu\nu}(x) </math>

Strengt tatt er dette foreløbig bare mulig i ett punkt. Men det er mulig å finne slike koordinater for ethvert lite område i tidrommet ved bruk av [[Riemanns differensialgeometri|riemannske normalkoordinater]]. Det tilsvarer at man i dette området har valgt koordinater i en fritt fallende «Einstein-elevator». På denne måten har man dermed en matematisk formulering av [[ekvivalensprinsippet]].<ref name = RN/>