Redigerer Vektorrom (avsnitt)

== Basis og dimensjon ==
:Utdypende artikkel: [[Basis (matematikk)]]
En mengde av lineært uavhengige vektorer i et vektorrom er en ''algebraisk basis'' eller en ''Hamel-basis'' for vektorrommet, dersom en vilkårlig vektor i rommet kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse.<ref name=RDM2/><ref name=EJBB1/><ref name=TLS1/>  Ofte brukes bare kortversjonen ''basis''.  
En snevrere definisjon av begrepet «Hamel-basis» er også i bruk, da definert som en basis i det rasjonale vektorrommet R.<ref name=EJBB1/>  

Det vil alltid eksistere mange alternative basiser for et vektorrom. Ulike valg fører til forskjellige [[koordinatsystem]]. Dersom antallet vektorer i en basis er endelig, så vil alle alternative basiser ha samme antall vektorer, og antallet vektorer i en basis kalles ''dimensjonen'' til rommet.  

Dersom et vektorrom med dimensjon ''n'' har basisvektorene  '''a'''<sub>1</sub>, '''a'''<sub>2</sub>, .... '''a'''<sub>n</sub>, så kan en vilkårlig vektor '''u''' i rommet skrives på formen

:<math>\mathbf{u} = 
u_1 \mathbf{a}_1 + u_2 \mathbf{a}_2 + \cdots  u_n \mathbf{a}_n,  \, </math>

der ''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>,... ''u''<sub>n</sub> er et sett av skalarer. Disse skalarene kalles [[koordinat]]ene eller ''komponentene'' til vektoren '''u''' med hensyn på den valgte basisen.<ref name=FFB1/>
 
Vektorene   '''e'''<sub>1</sub> = (1,0,0),  '''e'''<sub>2</sub> = (0,1,0) og  '''e'''<sub>3</sub> = (0,0,1) er en spesiell basis for vektorrommet '''R'''<sup>3</sup> som har tre dimensjoner. En vilkårlig vektor '''v''' = {{nowrap|(''v''<sub>1</sub>,''v''<sub>2</sub>,''v''<sub>3</sub>)}} kan da skrives som {{nowrap|'''v''' {{=}} ''v''<sub>1</sub>&thinsp;'''e'''<sub>1</sub> + ''v''<sub>2</sub>&thinsp;'''e'''<sub>2</sub> + ''v''<sub>3</sub>&thinsp;'''e'''<sub>3</sub>}}. Denne basisen kalles ofte ''standardbasisen'' for '''R'''<sup>3</sup>. Den danner et [[kartesisk koordinatsystem]] og med ''kartesiske'' vektorkomponenter. Tilsvarende kartesiske koordinatsystem finnes for '''R'''<sup>n</sup>.