Redigerer Spredningstverrsnitt (avsnitt)

==Partialbølger==

En viktig fremstilling av en generell spredningsprosess får man ved en [[partialbølgeutvikling]] av spredningsamplituden. Den er basert på at potensialet er rotasjonsymmetrisk slik kollisjonen er uavhengig av den asimutale vinkelen ''&phi;''. Spredningsamplituden kan da uttrykkes ved en uendelig rekke basert på [[Legendre-polynom]]ene ''P''<sub>ℓ</sub>(cos''&theta;'') og har formen

: <math>f(\theta) =  {1\over k} \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) e^{i \delta_\ell} \sin\delta_\ell P_\ell(\cos \theta)</math>

Ekspansjonsparameteren ℓ er her kvantetallet som angir [[dreieimpuls]]en til partikkelen som spredes. Desst lavere energi denne har, desto mindre verdier har denne størrelsen og desto færre termer behøver man å ta med i rekkeutviklingen. Hver verdi av ℓ angir dermed en utgående kulebølge og parameteren ''&delta;''<sub>ℓ</sub> kalles dens '''faseskifte'''. De bestemmer størrelsen til spredningstverrsnittet og har [[reelt tall|reelle]] verdier for elastisk spredning.<ref name = Shankar/>

Ved å bruke ortogonalitet mellom Legendre-polynomene finner man herav det integrerte spredningstverrsnittet

: <math> \sigma = 2\pi\int_{-1}^1\!d\cos\theta  |f(\theta)|^2  = {4\pi\over k^2}  \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \sin^2\delta_\ell </math>

Dette uttrykket er i overensstemmelse med det [[Optisk teorem|optiske teoremet]] som sier at tverrsnittet også er gitt ved den imaginære delen av spredningsamplituden i fremover-retning ''&theta;'' = 0,

: <math> \sigma = {4\pi\over k}\text{Im} f(0) </math> 

Partialbølgemetiden kan også benyttes ved uelastisk spredning der den innkommende partikkelen taper energi eller ved at andre partikler blir samtidig skapt i prosessen. Dette kan formelt beskrives ved å la faseskiftene ta [[komplekst tall|komplekse verdier]]. Da vil det være en forskjell mellom det totale virkningstverrsnittet som følger fra det optiske teoremet og det integrerte spredningstverrsnittet. Differensen omtales vanligvis for det «absorptive tverrsnittet» siden det skyldes et tap av partikler fra den innkommende strålen.

===Småvinkelspredning===

Kvantetallet ℓ i partialbølgeutviklingen angir dreieimpulsen til den spredte partikkelen. Denne er proporsjonal med impulsen ''p'' = ''ħ''&thinsp;''k'' til partikkelen som spredes. Ved høye energier vil derfor partialbølger med stadig høyere verdier av ℓ bidra. I tillegg viser eksperiment i [[kjernefysikk]] og [[partikkelfysikk]] ved slike energier at spredningen er konsentrert innen små vinkler.<ref name = Pilkuhn> H. Pilkuhn, ''The Interactions of Hadrons'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1967).</ref>

Under slike forhold kan summen over alle partialbølger  ℓ erstattes med en integrasjon over en klassisk støtparameter ''b'' definert ved ℓ = ''bk''. Samtidig kan Legendre-polynomet i ekspansjonen for små vinkler erstattes med ''P''<sub>ℓ</sub>(cos''&theta;'') = ''J''<sub>0</sub>(ℓ''&theta;'') hvor [[Bessel-funksjon]]en er definert ved

: <math> J_0(x) = \int_0^{2\pi}\!{d\phi\over 2\pi} e^{ix\cos\phi} </math>

Spredningsamplituden kan dermed skrives som

: <math> \begin{align}  f(\theta) &= ik\int_0^\infty\!dbb \,J_0(kb\theta) \big[1 - e^{2i\delta(b)}\big] \\ &= {ik\over 2\pi} \int d^2b\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{b}}  \big[1 - e^{2i\delta(b)}\big] \end{align} </math>

hvor vektoren '''Q''' har lengde ''Q'' = ''k&theta;''. På denne måten vil hele spredningsamplituden kunne beregnes fra kjennskap til profilfunksjonen ''&delta;''(''b'') som beskriver egenskapene til sprederen.<ref name = Pilkuhn/>

===Eikonalapproksimasjon===

I store avstander fra sprederen beskrevet ved potensialet ''V''('''r''') må bølgefunksjonen til den spredte partiklen oppfylle ligningen

: <math>  \psi(\mathbf{r})  = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  -  {m\over 2\pi \hbar^2}{e^{ikr}\over r} \int \! d^3 r'  e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{r'}}\, V(\mathbf{r'})\psi(\mathbf{r'}) </math>

Det siste leddet her gir direkte spredningsamplituden i laveste Born-approksimasjon når man setter {{nowrap|''&psi;''('''r''') {{=}} ''e''<sup>&thinsp;''i''&thinsp;'''k'''&sdot;'''r'''</sup>}} i integralet på høyre side. Et mer nøyaktiig resultat kan finnes ved  å benytte [[Eikonalapproksimasjon#Kvantemekanisk partikkelspredning|eikonalapproksimasjon]]en som brukes  i optikken og er basert på en tilsvarende Helmholtz-ligning ved korte bølgelengder og småvinkel avbøyning. Denne tilnærmelsen gir det mer presise uttrykket

: <math>  \psi(\mathbf{r}) = \exp{\Big[i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - {i\over\hbar v} \int_{-\infty}^z \! dz' V(x,y,z')\Big] } </math>

for den spredte bølgen hvor ''v'' = ''p''/''m'' er hastigheten til partikkelen. Denne modifikasjonen av den plane bølgen involverer [[Plancks konstant]] ''ħ'' og er derfor en kvantekorreksjon som kan føres tilbake til [[WKB-approksimasjon]]en i atomfysikken.<ref name = Newton> R.G. Newton, ''Scattering Theory of Waves and Particles'', Springer-Verlag, New York (1982). </ref>

Uttrykket for spredningsamplituden tar nå formen

: <math> f(\theta) =  - {m\over 2\pi \hbar^2} \int\! d^2b\int_{-\infty}^\infty\! dz\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} \,V(\mathbf{b},z)  \exp{\Big[- {i\over\hbar v} \int_{-\infty}^z \! dz' V(\mathbf{b},z')\Big] } </math>

etter oppsplittelsen '''r''' = ('''b''',''z'') og innføring av '''Q''' = '''k''' - '''k'&thinsp;'''. Det gjenstående integralet  kan bli ytterligere forenklet ved å benytte først at '''Q'''&sdot;'''r''' = '''Q'''&sdot;'''b''' for små spredningsvinkler. I tillegg kan de to siste faktorene i integralet kombineres til den deriverte av en [[eksponensialfunksjon]] slik at integrasjonen over ''z'' kan utføres. Dermed tar spredningsamplituden formen

: <math> f(\theta)  =  {ik\over 2\pi}  \int d^2b\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{b}}  \big[1 - e^{2i\delta(b)}\big] </math>,

men med det eksplisitte resultatet 

: <math> 2\delta(b) = - {1\over\hbar v} \int_{-\infty}^\infty \! dz\, V(\mathbf{b},z) </math>

for den generaliserte faseforskyvningen. For et gitt spredningspotensial kan denne derfor bestemmes ved en enkel integrasjon. Skulle potensialet ta komplekse verdier, vil dette bety absorpsjon av de innkommende partiklene og bety at funksjonen ''&delta;''(''b'') også ville ta komplekse verdier.<ref> J.J. Sakurai, ''Modern Quantum Mechanics'', Benjamin/Cummings Publishing Co, Menlo Park (1985). ISBN 0-8053-7501-5.</ref>

===Diffraksjonsspredning===

Faseforskyvningen ''&delta;''(''b'') vil bli kompleks hvis det spredende potensialet ''V''(''r'') virker absorberende på de innkommende partiklene. I det mest ekstreme tilfelle kan man tenke seg at alle partikler innenfor en radius ''a''&thinsp; absorberes, mens ingen spredes eller absorberes utenfor denne avstanden. Man sier da at man har spredning på en totalt absorberende kule eller «sort disk». Det betyr at fasefaktoren ''e''<sup>2''i&delta;''</sup> = 1 for støtparametre ''b'' > ''a&thinsp;'' og null ellers. Spredningsamplituden er da gitt ved integralet

: <math> f(\theta) = ik\int_0^a \!dbb \,J_0(kb\theta) =  ika^2 {J_1(ka\theta)\over ka\theta} </math>

som er det samme som opptrer for [[diffraksjon]] av lys gjennom en sirkulær åpning eller absorberende disk. Spredningstverrsnittet for partikler i denne grensen blir derfor vanligvis omtalt som «diffraksjonsspredning».<ref name = Hecht/>

Det integrerte spredningstverrsnittet blir nå

: <math> \sigma = 2\pi \int_0^\pi d\theta\, |f(\theta)|^2 = \pi a^2 </math>

med stor nøyaktighet. Det er likt med det geometriske tverrsnittet til sprederen.<ref name = Jackson> J. D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.</ref>

For beregning av det totale virkingstverrsnittet ''&sigma;<sub>T</sub>&thinsp;'' kan man benytte det [[Optisk teorem|optiske teorem]]et. Da ''J''<sub>1</sub>(''x'')/''x'' &rarr; 1/2 i grensen ''x'' &rarr; 0, er spredningsamplituden i fremover-retning ''f''(0) = ''ika''<sup>2</sup>/2 og er rent imaginær. Dette tverrsnittet blir dermed

: <math> \sigma_T =  {4\pi\over k}\text{Im} f(0) = 2\pi a^2 </math>

og er dobbelt så stort som det geometriske tverrsnittet. I tillegg til spreningstverrsnittet inneholder det også tverrsnittet for absorpsjon som har samme størrelse.<ref>H. Frauenfelder and E.M. Henley, ''Subatomic Physics'', Prentice Hall, New Jersey (1974). ISBN 0-13-859082-6.</ref>