Redigerer
Plancks strålingslov
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Einstein og fotoner== På dette stadium tenkte ikke Planck at disse energikvantene skulle være en egenskap ved selve strålingen. Han mente at strålingen var kontinuerlig, men ble absorbert eller emittert i diskrete porsjoner av størrelse {{nowrap|''ε {{=}} hν''}}. Det var Einstein som i de følgende årene viste ved bruk av [[statistisk fysikk]] at disse [[kvant]]ene var en egenskap ved selve strålingen. Han fant at de også kunne tilskrives en [[bevegelsesmengde]] {{nowrap|''p {{=}} hv/c''}} slik at de på alle måter oppførte seg som partikler. I dag kalles disse for [[foton]]er og er en grunnleggende del av moderne [[kvantefeltteori]]. ===Gass av energikvant=== Einstein skrev sitt første arbeid om [[varmestråling]] i [[1905]].<ref>A. Einstein, ''Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt'', Annalen der Physik '''17''', 132-148 (1905). [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_132-148.pdf PDF]</ref> Vel femten år senere ble dette lagt til grunn for å tildele han [[Nobelprisen i fysikk]]. I stedet for å beregne entropien til resonatorene i veggene som omsluttet strålingen slik Planck hadde gjort fem år tidligere, ville Einstein undersøke entropien til selve strålingen. Han tok da utgangspunkt i [[Wiens strålingslov]] som beskriver den riktig ved lave intensiteter. Fra den spektrale strålingstettheten ''u<sub>ν</sub>''(''T'') følger da at temperaturen kan skrives som {{nowrap|1/''T'' {{=}} (1/''bν'')log(''Cν''<sup>3</sup>/''u<sub>ν</sub>'')}}. Betrakter man nå et volum ''V'' med strålingen, så inneholder det den totale energien {{nowrap|''U<sub>ν</sub>''(''T'') {{=}} ''u<sub>ν</sub>''(''T'')''V''}} i det samme spektrale området. Den tilsvarende entropien ''S<sub>ν</sub>'' kan finnes fra den [[termodynamikk|termodynamiske relasjonen]] {{nowrap|(∂''S<sub>ν</sub>''/∂''U<sub>ν</sub>'')<sub>''V''</sub> {{=}} 1/''T''}} da den gjelder for hver frekvens som finnes i strålingen. Ved her å sette inn for 1/''T'' og utføre den samme integrasjonen {{nowrap|∫''dx ''log''x'' {{=}} ''x'' log''x'' - ''x''}} som Planck hadde benyttet tidligere, fant Einstein for strålingsentropien : <math> S_\nu(V, U_\nu) = - {U_\nu\over b\nu}\left(\log{U_\nu\over CV\!\nu^3} - 1\right) </math> Hvis nå volumet forandres fra ''V''<sub>1</sub> til ''V''<sub>2</sub> ved konstant energi, vil entropien til strålingen forandres med : <math> S_\nu(V_2) - S_\nu(V_1) = {U_\nu\over b\nu}\log{V_2\over V_1} </math> hvor ''b'' = ''h''/''k<sub>B</sub>''. Sammenlignes dette med [[entropi]]en til en [[ideell gass]] med partikler, ser man at resultatet for strålingen har samme form når {{nowrap|''N<sub>ν</sub>'' {{=}} ''U<sub>ν</sub>''/''hν''}} tolkes som antall partikler i en gass med stråling. Hver partikkel er da et energikvant med energi {{nowrap|''ε {{=}} hν''}}. Dette var det matematiske resultatet som overbeviste Einstein om at strålingen kunne beskrives som slike diskrete energikvant. Som en konskvens av denne innsikten viste han i det samme arbeidet at [[fotoelektrisk effekt|den fotoelektriske effekten]] måtte ha visse egenskaper som senere ble eksperimentelt verifisert. Dette ga han [[Nobelprisen i fysikk]] i [[1921]]. At strålingen skulle bestå av diskrete energikvant, var selvfølgelig i radikal konflikt med klassisk fysikk og [[Maxwells ligninger]] hvor alle fenomen skjer kontinuerlig. Det var også i konflikt med Plancks utledning hvor selve strålingen var antatt å være kontinuerlig, mens det var bare ved kobling til materialet i veggene at energi skulle bli opptatt og avgitt i diskrete porsjoner. Disse konfliktene ville oppta Einstein i årene som kom.<ref>A. Einstein, ''Zur Theorie der Lichterzeugung und Lichtabsorption'', Annalen der Physik, '''20''', 199-206 (1906). [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1906_20_199-206.pdf PDF]</ref> ===Klassisk harmonisk oscillator=== Allerede i [[1907]] bidro Einstein med en [[kvanteteori|kvanteteoretisk]] forklaring av egenskapene til materialet i veggene som omsluttet strålingen.<ref>A. Einstein, ''Die Planckshe Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme'', Annalen der Physik, '''22''', 180-190 (1907). [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1907_22_180-190.pdf PDF]</ref> Til da hadde man ikke hatt noen god forståelse av [[atom]]ene som materialet var ment å bestå av. I stedet omtalte man dem som ''resonatorer'', og Planck hadde antatt at de var vanlige, [[harmonisk oscillator|harmoniske oscillatorer]]. Har en slik oscillator massen ''m'' og en kraftkonstant ''k'', så vil dens energi være gitt som {{nowrap|''E'' {{=}} ''p''<sup>2</sup>/2''m'' + ''kq''<sup>2</sup>/2}}. Den varierer kontinuerlig med utslaget ''q'' og [[impuls]]en ''p'' og svinger med [[vinkelfrekvens]]en {{nowrap|''ω'' {{=}} √(''k''/''m'')}}. Fra [[statistisk fysikk]] er sannsynligheten for at oscillatoren har energien ''E'' ved en temperatur ''T'' proporsjonal med [[Boltzmann-fordeling|Boltzmanns faktor]] exp(''-βE'') hvor ''β'' = 1/''k<sub>B</sub>T''. Den midlere energien er derfor : <math> \langle E_\nu\rangle = E (\nu,T) = {1\over Z}\int_{-\infty}^\infty\! dqdp\, E e^{-\beta E} </math> Her inngår normeringsfaktoren : <math> Z = \int_{-\infty}^\infty\! dqdp\, e^{-\beta E} </math> som ofte kalles for ''partisjonsfunksjonen''. Er den regnet ut, kan den midlere energien beregnes mye enklere som {{nowrap|''<E<sub>ν</sub>>'' {{=}} - ∂ log ''Z''/∂''β''}}. Denne relasjonen gjelder helt generelt og spiller en sentral rolle i statistisk fysikk. Når oscillatoren beskrives klassisk, er den beskrevet ved kontinuerlige variable. Både integralet over ''p'' og over ''q'' i uttrykket for ''Z'' er gitt ved det vanlige [[Gauss-integral]]et  ∫''dx'' exp(''-x''<sup>2</sup>) = √''π '' når integrasjonsgrensene er ±∞ som i dette tilfellet. Dette gir at {{nowrap|''Z'' {{=}} 2''π'' /''βω''}} og derfor den midlere oscillatorenergien {{nowrap|''<E<sub>ν</sub>>'' {{=}} ''k<sub>B</sub>T''}}. Innsatt i Plancks likevektsformel, kom Einstein på denne måten frem til [[Rayleigh-Jeans' strålingslov]]. Partisjonsfunksjonen ''Z'' kan også regnes ut på en annen måte som Einstein gjorde bruk av. Definerer man funksjonen : <math> \rho(E) = \int\! dqdp\,\delta(E - p^2/2m - kq^2/2) </math> hvor ''δ''(''x'') er [[Diracs deltafunksjon]], så har man i stedet at {{nowrap|''Z'' {{=}} ∫ ''dE ρ''(''E'') exp(-''βE'')}}. For oscillatoren finner man {{nowrap|''ρ'' {{=}} 2''π'' /''ω''}} som igjen gir {{nowrap|''Z'' {{=}} 2''π'' /''βω''}}. ===Kvantisering av harmonisk oscillator=== [[Fil:Einstein 1921 portrait2.jpg|thumb|Albert Einstein i 1921.]] Utfra disse betraktningene visste Einstein nå at det ikke var riktig å beskrive oscillatorene ved klassisk fysikk. Planck hadde fem år tidigere vist at de kun kunne oppta og avgi energi i form av energikvant med størrelse {{nowrap|''ε {{=}} hν''}} med ''ν = ω/2π''. Energien til en oscillator kan derfor bare anta diskrete verdier ''E<sub>n</sub> = nhν'' hvor ''n'' = 0,1,2,3,.... og til uendelig. Man sier at dens energier er [[Kvantisering (fysikk)|kvantisert]]. I uttrykket for partisjonsfunksjonen ''Z'' kan man ikke lenger integrere over alle verdier, men må i stedet summere opp de diskrete bidragene fra hver av energiene. Det gir : <math> Z = 1 + e^{-\beta\varepsilon} +e^{-2\beta\varepsilon} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty e^{-n\beta\varepsilon} = {1\over 1 - e^{-\beta\varepsilon}}</math> Den midlere energien til oscillatoren er derfor : <math> \langle E_\nu\rangle = E (\nu,T) = {\partial\over\partial\beta} \log\Big(1 - e^{-\beta\varepsilon}\Big) = {\varepsilon\over e^{\beta\varepsilon} - 1} = {h\nu\over e^{h\nu/k_BT} - 1} </math> Einsteins fundamentale resultat for energien til den kvantiserte oscillatoren gir nå direkte Plancks strålingsformel. I grensen ''hν << k<sub>B</sub>T'' gjenfinner man det klassiske resultatet som tilfredsstiller formelen til Rayleigh og Jeans. Den er like mye knyttet til Einsteins navn som var den som virkelig innså dens betydning og derfor kunne generalisere den inn i det kvantemekaniske regimet. Knapt fem år senere skulle [[Peter Debye]] benytte denne beregningen til å gi en mer fullstendig forståelse av egenskapene til Einsteins energikvant i selve strålingen. Da gjaldt ikke resultatet lenger for oscillatorene som ble antatt å beskrive svingningene til molekylene eller atomene i veggene, men derimot for svingningene i det elektromagnetiske strålingsfeltet. På den måtene ble Plancks strålingslov enda mer troverdig da den ikke lenger var avhengig av spesielle antagelser om egenskapene til materialet i veggene. Det klassiske resultatet {{nowrap|''<E<sub>ν</sub>> {{=}} k<sub>B</sub>T''}} er en del av [[ekvipartisjonsprinsippet]] som tidligere var benyttet til å beregne [[spesifikk varmekapasitet|den spesifikke varmekapasiteten]] for forskjellige stoffer og formulert som [[Dulong-Petits lov]]. Det var kjent at flere faste stoffer viste avvik fra denne ved lave temperaturer. Dette fikk Einstein i samme arbeid til å foreslå at hans kvantemekaniske resultat for ''<E<sub>ν</sub>>'' kunne benyttes til å beregne varmekapasiteter på en ny måte. Basert på en enkel [[Einsteins faststoffmodell|modell]] for faste stoffer fant han også mye bedre overensstemmelse med målingene. ===Fluktuasjoner i strålingen=== Energien ''E'' til et system som er i termisk likevekt ved temperaturen ''T'', er ikke helt konstant da det hele tiden utveksler små energimengder med omgivelsene for at temperaturen skal forbli uforandret. Den midlere energien ''<E>'' kan beregnes ved bruk av [[Boltzmann-fordeling|Boltzmanns sannsynlighetsfordeling]] ''P(E)'' = exp(-''βE)/Z'' som allerede brukt for oscillatorene i veggene. På samme måte kan man regne ut den midlere, kvadratiske energien ''<E<sup>2</sup>>''. Denne viser seg da å ikke være den samme som kvadratet av den midlere energien. Differensen mellom disse to størrelsene er '''fluktuasjonen''' av energien. Ved direkte utregning følger at den er gitt som : <math> \langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2 = \langle(E - \langle E\rangle)^2\rangle = \langle(\Delta E)^2\rangle = k_BT^2\, {\partial\langle E\rangle\over\partial T} </math> Einstein var overbevist om at disse relasjonene som følger fra [[statistisk fysikk]], også måtte gjelde for varmestrålingen. Tidlig i [[1909]] publiserte han nok et viktig arbeid hvor han kom frem til nye, fundamentale egenskaper til strålingen basert på slike statistiske metoder.<ref>A. Einstein, ''Zum gegenwärtigen Stand des Strahlungsproblems'', Phys. Zeitschrift '''10''', 185 - 193 (1909).</ref> I et volum ''V'' og frekvensintervall ''Δν'' har strålingen en midlere energi ''<E> = Vu<sub>ν</sub>Δν'' hvor den spektrale energitettheten er gitt ved Plancks lov. Ved bruk av den generelle formelen for fluktuasjonen, fant han da ved direkte derivasjon resultatet : <math> \langle(\Delta E)^2\rangle = \Big( h\nu u_\nu + {c^3\over 8\pi\nu^2}u_\nu^2 \Big) V \Delta\nu </math> for fluktuasjonen av denne energien. Den første termen ville ha kommet frem hvis man hadde brukt [[Wiens strålingslov]] for energitettheten. Og det var denne som Einstein i [[1905]] hadde vist førte til at strålingen kunne beskrives som en gass av partikler eller energikvant. På samme måte ville det siste leddet ha kommet frem hvis man hadde brukt [[Rayleigh-Jeans' strålingslov]] som følger fra bølgeteori. Med denne beregningen kunne derfor Einstein konkludere at Plancks formel måtte bety at strålingen bestod av bestanddeler som samtidig måtte være både partikler og bølger. Han hadde på den måten åpnet opp en ny dør til [[kvantemekanikk]]ens verden hvor partikler har bølgeegenskaper. Det tok likevel nesten femten år til før dette ble helt forstått og matematisk formulert. ===Fotonet har impuls=== Formelen som Einstein hadde funnet for energifluktuasjonene, utledet han i samme arbeidet også på en annen måte ved å betrakte hvordan hastigheten til et speil plassert i strålingen ville fluktuere. En tolkning av resultatet var at energikvantene også hadde en rettet bevegelsesmengde eller [[impuls]]. På et stort fysikkmøte i [[Salzburg]] om høsten [[1909]], hvor han også for første gang ga en offentlig presentasjon av sin [[spesielle relativitetsteori]], diskuterte han også egenskapene til [[varmestråling]] og denne egenskapen ved Plancks energikvant.<ref>A. Einstein, ''Über die Entwicklung unserer Anschauungen über das Wesen und die Konstitution der Strahlung'', Phys. Zeitschrift '''10''', 817–825 (1909). [https://en.wikisource.org/wiki/The_Development_of_Our_Views_on_the_Composition_and_Essence_of_Radiation Engelsk oversettelse, Wikisource.]</ref> Dette var igjen i motsetning til klassisk fysikk hvor utsendelse av stråling fra et materielt punkt skjer i form av [[bølge|kulebølger]] med samme intensitet i alle retninger. Et utsendt energikvant syntes derimot å måtte ha en bevegelse rettet i en bestemt, men vilkårlig retning. Fra hans [[spesielle relativitetsteori]] følger at denne impulsen må være ''hν/c'' for et kvant med energi ''hν'' og som beveger seg med lyshastigheten ''c''. I stedet for at lys ble emittert som en kulebølge likt i alle retninger, må det tilsvarende kvantet bevege seg i en bestemt retning - som en ''nål''. På tross av disse argumentene fant Einstein liten aksept for sin beskrivelse av strålingen som bestående av [[kvant]]er. Det viktigste motargumentet var at en slik partikkelteori ikke kunne gi noen forklaring av [[interferens]] som er så karakteristisk for lys og annen [[elektromagnetisk stråling]]. Likevel forsatte Einstein i de følgende årene med å overbevise seg selv og andre om at hans bilde av strålingens egenskaper var riktig. I [[1917]] presenterte han et nytt arbeide hvor han betraktet et enkelt [[atom]] i et strålingsfelt.<ref>A. Einstein, ''Zur Quantentheorie der Strahlung'', Phys. Zeitschrift '''18''', 121 - 128 (1917).</ref> Da var [[Bohrs atommodell]] etablert, og man hadde derfor en mye mer realistisk forståelse av dets egenskaper. For at strålingen skal være i [[termisk likevekt]], må atomet emittere og absorbere energikvant på en bestemt måte som tilsvarer at den har energitetthet som er gitt ved akkurat Plancks strålingslov. Einstein mente senere at dette var for han den mest tilfredsstillende utledningen som kunne gis av denne formelen. I tillegg kom han her frem til sine berømte [[Einsteins strålingskoeffisienter|strålingskoeffisienter]] som gir sannsynlighetene for atomet skal emittere og absorbere lys. Denne formuleringen la grunnlaget for virkningen av [[laser]]en. Fra samme betraktning fulgte også at energikvantene må ha en rettet impuls som gir atomet en nødvendig [[rekyl]] som inngår i betingelsene for likevekt. Fem år senere ble fotonets energi ''hν'' og impuls ''hν/c'' eksperimentelt påvist i [[Comptoneffekten|Compton-effekten]]. Siden er fotonet kjent som en partikkel. Men dette er ingen klassisk partikkel, men en kvantepartikkel som følger [[Bose-Einstein-statistikk]].
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon