Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Eksempel: Sfærisk kassepotensial===

En bundet partikkel i et atom for eksempel befinner seg per definisjon i et endelig område av rommet. Den må derfor kvanemeaknisk beskrives av en bølgefunksjon som går mot null ved store avstander. Den enkleste illustrasjon av en slik situasjon er en partikkel som kun kan bevege seg i én dimensjon mens den befinner seg i et uendelig dypt [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|kassepotensial]]. Mer realistisk er å anta at partikkelen kan bevege seg fritt i alle tre dimensjoner innenfor en avstand ''r'' < ''a&thinsp;'' fra origo hvor ''a&thinsp;'' er radius til et uendelig dypt kassepotensialet.

Inne i kassen hvor  potensialet {{nowrap|''V''(''r'') {{=}} 0,}} er de radielle bølgefunksjonene med dreieimpuls  ℓ = 0 enklest å finne. Differensialligningen for disse  ''s''-tilstandene er

: <math> {d^2 u_0 \over dr^2} + k^2 u_0(r) = 0 </math>

hvor størrelsen ''k&thinsp;'' bestemmer partiklens energi ved sammenhengen ''E'' = ''ħ''<sup>&thinsp;2</sup>''k''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m''. Den er bestemt ved kravet  at bølgefunksjonen må være null utenfor kassen. Da den samtidig må være kontinuerlig gjennom dens overflate {{nowrap|''r'' {{=}} ''a''}}, må  {{nowrap|''u''<sub>0</sub>(''ka'') {{=}} 0}}. Denne grensebvtingelsen gir nå den entydige løsningen

: <math> u_0(r) = \sin kr </math>

med de kvantiserte verdiene ''k'' = ''n&thinsp;&pi;''&thinsp;/''a''. Dermed har ''s''-tilstandene energiene

: <math> E_{0n} = {\hbar^2\over 2ma^2} (\pi n)^2 </math>

hvor ''n'' = 1, 2, 3 etc virker som et radielt kvantetall. Tilstandene kan betegnes som 1''s'', 2''s&thinsp;'' og så videre. Dette er samme resultat som for løsningen i et éndimensjonalt kassepotensial med samme utstrekning.<ref name = Griffiths/>

Funksjonen ''R''<sub>0</sub>(''r'') = ''u''<sub>0</sub>/''r&thinsp;'' er den sfæriske [[Bessel-funksjon]]en ''j''<sub>0</sub>(''kr'') av laveste orden. Løsning av Schrödinger-ligning for ℓ > 0 er på tilsvarende vis gitt ved mer kompliserte Bessel-funksjoner ''j''<sub>ℓ</sub>(''kr''). Energiene til disse tilstanden må dermed tilfredsstille grensebetingelsen {{nowrap|''j''<sub>ℓ</sub>(''ka'') {{=}} 0}}. Det betyr at {{nowrap|''k'' {{=}} ''x''<sub>ℓ''n''</sub>&thinsp;/''a&thinsp;''}} hvor ''x''<sub>ℓ''n''</sub>&thinsp; er ''n''-te nullpunkt til Bessel-funksjonen ''j''<sub>ℓ</sub>(''x''), De kvantiserte energiene for partikkelen i dette potensialet er derfor

: <math> E_{\ell n} = {\hbar^2\over 2ma^2} x_{\ell n}^2 </math>

For de laveste ''p''-tilstandene med ℓ = 1 er nullpunktene {{nowrap|''x''<sub>11</sub> {{=}} 4.49}} og {{nowrap|''x''<sub>12</sub> {{=}} 7.73}}. Derfor har  1''p''-tilstanden en energi mellom 1''s&thinsp;'' og 2''s'', mens 2''p&thinsp;'' ligger over 2''s''. På tilsvarende vis betyr {{nowrap|''x''<sub>21</sub> {{=}} 5.76}} og {{nowrap|''x''<sub>31</sub> {{=}} 6.99}} at tilstanden 1''d&thinsp;''  med ℓ = 2  ligger like under 2''s''-tilstanden, mens 1''f&thinsp;'' ligger like over denne.<ref name = Davydov/>

Når det sfæriske kassepotensialet modifiseres til et tredimensjonalt, harmonisk oscillatorpotensial {{nowrap|''V''(''r'') {{=}} ''m&omega;''<sup>&thinsp;2</sup>''r''<sup>&thinsp;2</sup>/2,}} kan de [[kvantisert harmonisk oscillator|kvantiserte energiene]] beregnes eksakt. De blir

: <math> E_{\ell n_r} = \hbar\omega(2n_r + \ell + 3/2) </math>

hvor ''n<sub>r</sub>'' = 0, 1, 2, ... er et radielt kvantetall. Energinivåene er bestemt av kombinasjonen {{nowrap|''n'' {{=}} 2''n<sub>r</sub>'' + ℓ&thinsp;}} og vil derfor generelt være degenererte. Det gjelder ikke for grunntilstanden med energi 3''ħ&omega;''/2 og kvantetall ℓ = ''n<sub>r</sub>'' =   0. Likedan består det første, eksisterte energinivå 5''ħ&omega;''/2 entydig av tilstanden  ℓ = 1, ''n<sub>r</sub>'' = 0. Derimot inneholder nivået 7''ħ&omega;''/2 både tilstanden  ℓ = 2, ''n<sub>r</sub>'' = 0 og  ℓ = 0, ''n<sub>r</sub>'' = 1. Denne degenerasjonen av energinivåene  stemmer overens med hva som finnes ved å løse Schrödinger-ligningen for dette potensialet ved bruk av [[Schrödinger-ligning#Harmonisk oscillator|kartesiske koordinater]]. Det skyldes at det mekaniske systemet har en ekstra symmetri ut over rotasjonssymmetrien som allerede er benyttet ved løsningen. Noe tilsvarende gjelder også for [[Hydrogenatom#Kvantemekanisk beregning|Coulomb-potensialet]] som har en bevart [[Runge-Lenz-vektor]].