Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

==Dirac-ligningen==

En kvantemekanisk beskrivelse av elektronet som også var i overensstemmelse med den [[spesiell relativitetsteori|spesielle relativitetsteorien]], kom i 1928 med [[Dirac-ligning]]en. I hydrogenatomet beveger det seg under innflytelse av [[Coulombs lov|Coulomb-potensialet]] slik at de verdiene for energinivåene vil være løsninger av egenverdiproblemet

: <math> \Big(\boldsymbol{\alpha}\cdot\mathbf{p} + \beta\, m_e - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}\Big)\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r})  </math>

Her er nå  impulsoperatoren '''p''' = - ''i&thinsp;ħ''&thinsp;'''&nabla;''', mens '''''&alpha;''''' og ''&beta;'' er 4&times;4  [[Dirac-ligning|Dirac-matriser]]. De virker på ''&psi;'' som er en 4-komponent [[Dirac-ligning|Dirac-spinor]]. Den er den generaliserte bølgefunksjonen for en relativistisk partikkel med [[spinn]].

På samme måte som det relativistiske hydrogenatomet kunne løses eksakt med [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]], kunne [[Paul Dirac]] finne løsningen av denne relativistiske bølgeligningen.<ref name = BjorkenDrell> J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill Book Company, New York (1964).</ref>

: <math>  E = {m_e c^2\over\sqrt{1 + \big(\alpha Z/ n_r +  \sqrt{(j + 1/2)^2 - \alpha^2 Z^2} \big)^2}} </math>

Utrolig nok er dette nøyaktig samme resultat som med den halv-klassiske metoden, bare med den forskjell at det orbitale kvantetallet ''k'' = ℓ + 1 er erstattet med ''j'' + 1/2.  Det radielle kvantetallet {{nowrap| ''n<sub>r</sub>&thinsp;'' {{=}} 0, 1, 2, ... }} kan nå uttrykkes ved hovedkvantetallet ''n'' som {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' {{=}} ''n'' - ''j'' - 1/2}}. Fremdeles er energinivå med samme ''n'' og ''j&thinsp;'' degenererte.  

Det laveste energinivået er 1''s''<sub>1/2</sub> med energien ''m<sub>e</sub>&thinsp;c''<sup>2</sup>&radic;(1 - ''&alpha;''<sup>2</sup>''Z''<sup>&thinsp;2</sup>), mens man  for {{nowrap|''n'' {{=}} 2}} har to energinivå tilhørende tre tilstander,

: <math>\begin{align} E(2p_{3/2}) &= m_ec^2\sqrt{1 - {\alpha^2Z^2\over 4}}\\  E(2s_{1/2}) &=  E(2p_{1/2}) =  m_ec^2\sqrt{1 + \sqrt{1- \alpha^2Z^2}\over 2} \end{align}</math>

Til laveste orden i den lille parameteren ''&alpha;''<sup>2</sup>''Z''<sup>&thinsp;2</sup> er oppsplittingen av energinivåene fremdeles gitt ved Sommerfelds formel

: <math> \Delta E_{n\ell j}= {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over j + 1/2} - {3\over 4}\right)  E_n </math>

som på denne måten oppstår direkte fra Dirac-ligningen uten å måtte betrakte separate bidrag fra kinematiske og magnetiske perturbasjoner kombinert med en Darwin-term.