Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

==Harmonisk oscillator som approksimasjon==

Hvis et mekanisk system kommer litt ut av en likevektstilstand, vil det automatisk først søke tilbake til denne. Hvis den opprinnelige likevektstilstanden er «stabil», vil systemet da begynne å svinge harmonisk rundt denne. Dette er et generelt fenomen av stor praktisk og teoretisk betydning.<ref name = Goldstein/>

Det kan illustreres ved å betrakte en partikkel med masse ''m'' som kan bevege seg i en dimensjon og er utsatt for en kraft {{nowrap|''F'' {{=}} -''dV/dx''&thinsp;}} fra et potensial ''V''(''x''). En likevektsposisjon ''x''<sub>0</sub>&thinsp; er definert ved at kraften i dette punktet er null slik at partikkelen ikke får noen akselerasjon. Hvis man nå skriver potensialet som en [[Taylor-rekke]]
utviklet rundt denne posisjonen, har man

: <math> V(x) = V(x_0) + {dV\over dx}|_{x_0}(x - x_0) + {1\over 2} {d^2V\over dx^2}|_{x_0}(x - x_0)^2 + \cdots </math>

Men her er nå det andre leddet lik null da likevektspunktet er definert ved at {{nowrap|''dV/dx''&thinsp;}} skal være null der. Hvis man nå betrakter små utslag ''&xi;'' = ''x'' - ''x''<sub>0</sub>, kan høyere ordens ledd i Taylor-rekken antas å være neglisjerbare i forhold til leddet som inneholder den andrederiverte

: <math> V''_0 = {d^2V\over dx^2}|_{x_0} </math>

Den er positiv hvis likevektsposisjonen er stabil. Potensialet tar da den approksimative formen

: <math> V(x) = V(x_0) + {1\over 2}V''_0\xi^2 </math>

Mens det første leddet er bare en konstant som ikke spiller noen dynamisk rolle, er det andre leddet kvadratisk i utslaget ''&xi;''. Det betyr at bevegelsen til partikkelen blir en harmonisk svingning med en fjærkonstant som er lik med den dobbeltderiverte av potensialet. Vinkelfrekvensen blir dermed

: <math> \omega = \sqrt{V''_0\over m} </math>

Derimot, hvis den dobbeltderiverte hadde vært negativ, ville denne frekvensen da ha blitt [[imaginær enhet|imaginær]] som betyr at likevektsposisjonen ville ha vært ustabil da partikkelen ville ha beveget seg bort fra denne med økende hastighet.

===Eksempel===
Et eksempel på denne approksimasjonen er en svingende [[pendel]] med lengde ''l''. Der er potensialet

: <math> V(\theta) = mgl( 1 - \cos\theta) </math>

hvor ''&theta;''&thinsp; er utslaget fra likevektsposisjonen ''&theta;''<sub>0</sub> = 0 og ''g'' er [[tyngdeakselerasjon]]en. For små utslag ''&theta;'' << 1 kan nå potensialet approksimeres med

: <math> V = {1\over 2}mgl\theta^2 </math>

Da den kinetiske energien til pendelen er

: <math> K = {1\over 2}ml^2\dot{\theta}^2 </math>,

blir derfor vinkelhastigheten for den harmoniske svingningen

: <math> \omega = \sqrt{g\over l} </math>

Perioden til pendelen er uavhengig av utslaget i denne approksimasjonen. Men det er ikke lenger tilfelle for større utslag. For dette spesielle potensialet kan perioden beregnes for vilkårlig stort utslag ved bruk av [[elliptiske funksjoner]]. Svingningen er da fremdeles periodisk, men ikke lenger harmonisk.