Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

===Fronter av bølger===
[[Fil:Moving-fronts.jpg|thumb|250px|right|Bevegelser av fronten for den prinsipale funksjonen  ''S(t)'' i konfigurasjonsrommet.]]
I stedet for å bruke [[Maupertuis' virkningsprinsipp]] for å finne bevegelsen til partiklene, kan man også bruke  Hamilton-Jacobi-ligningen. Den karakteristiske funksjonen ''W = W('''x''')'' vil da for den gitte Hamilton-funksjonen måtte oppfylle differensialligningen

: <math> {1\over 2m} (\boldsymbol{\nabla} W)^2 +  V(\mathbf{x}) = E    </math>

Ut fra løsningen vil da ligningen ''W('''x''')'' = ''konst'' beskrive en flate i rommet. Da impulsvektoren til partikkelen er gitt som '''p''' = '''&nabla;'''''W'', vil den overalt stå normalt på slike flater. Dette minner igjen sterkt om geometrisk optikk beskrevet i [[eikonalapproksimasjon]]en hvor bølgevektoren '''k''' står vinkelrett på faseflatene.

Da flatene ''W('''x''')'' = ''konst'' ligger fast i rommet, vil derimot flatene for den prinsipale funksjonen ''S = W - Et = konst'' bevege seg. I figuren er vist to nærliggende flater ''W = a'' og ''W = b&thinsp;''. Ved tiden ''t = 0'' sammenfaller de med de tilsvarende flatene ''S = a'' og ''S = b&thinsp;''. Men ved et litt senere tidspunkt ''dt'' har flaten  ''S = a''  flyttet seg til flaten ''W = a + Edt''. Likedan har flaten  ''S = b''  flyttet seg til flaten ''W = b + Edt''. Hastigheten som flatene beveger seg med, er ''u = ds/dt'' hvor ''ds'' er den lille distansen et punkt på flaten har beveget seg i denne korte tiden. I dette tidsrommet har ''S''-flaten beveget seg mellom to ''W''-flater med ''dW = Edt&thinsp;''. Men samtidig er også 
''dW'' = |'''&nabla;'''''W''&thinsp;|&thinsp;''ds'' da gradienten '''&nabla;'''''W'' står normalt på flaten. Dermed forflytter ''S''-flatene seg med en lokal hastighet

: <math> u  = {ds\over dt}  = {E\over |\boldsymbol{\nabla} W|} = {E\over p}  </math>

Aksepterer vi nå den optiske analogien, vil vi kunne kalle dette for en ''fasehastighet'' for flaten ''S = konst&thinsp;'' som opptrer her som en bølgefront. Den er i alminnelighet forskjellig fra hastigheten ''v = p/m'' til partikkelen.