Redigerer Elektrisk felt (avsnitt)

==Elektrisk potensial==

Det elektriske feltet kan utledes fra et [[elektrisk potensial]]. Ofte blir det betegnet som ''U'', men det er også vanlig å angi det som ''V''. I mer teoretiske arbeid blir også ''&Phi;''&thinsp; benyttet. 

En enkel måte å vise hvordan det oppstår, er å gjøre bruk av resultatet 

: <math> \boldsymbol{\nabla} {1\over|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = - {\mathbf{r} -  \mathbf{r}'\over|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}  </math>

som kommer frem ved direkte [[derivasjon]].<ref name = Griffiths/> Feltet fra en kontinuerlig ladningsfordeling i rommet kan derfor skrives som {{nowrap|'''E''' {{=}} - '''&nabla;'''''V''&thinsp;}} hvor det elektriske potensialet er

: <math> V(\mathbf{r}) =  \int d^3 x'{\rho(\mathbf{r}')\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.  </math>

En elektrisk ladning ''q&thinsp;'' i dette potensialet vil ha den [[potensiell energi|potensielle energien]] ''U('''r''') = qV''('''r'''). Denne varierer med posisjonen, noe som betyr at ladningen er utsatt for en kraft {{nowrap|'''F''' {{=}} -'''&nabla;'''&thinsp;''U''}}. Dette er akkurat kraften {{nowrap|'''F''' {{=}} ''q''&thinsp;'''E'''&thinsp;}} fra det elektriske feltet.

Ved mange beregninger av elektriske felt er det ofte enklere å først regne ut potensialet som er en [[skalar]] størrelse. At feltet er gitt som [[gradient]]en av potensialet, betyr at det er [[Potensiell energi#Konservative krefter|konservativt]] og oppfyller {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''E''' {{=}} 0}}. Dette er [[Maxwells ligninger|Maxwells tredje ligning]] for det elektrostatiske feltet.

Gauss' lov '''&nabla;&thinsp;'''&sdot;&thinsp;'''E''' = ''&rho;''/''&epsilon;''<sub>0</sub>&thinsp; uttrykt ved potensialet gir

: <math> \nabla^2 V(\mathbf{x}) =  - {1\over\varepsilon_0}\rho(\mathbf{x}) </math>

som er [[Poissons ligning]]. Den er en andreordens, [[partiell differensialligning]]. For en gitt ladningsfordeling kan den i prinsippet løses og gi potensialet overalt. Der det ikke finnes ladninger, er ''&rho;'' = 0&thinsp; og ligningen reduseres til [[Laplace-ligning]]en. Kjenner man potensialet overalt, kan det elektriske feltet beregnes ved en enkel derivasjon. Dette er ofte mye enklere enn å beregne feltet direkte fra ladningene da potensialet er en [[skalar]] størrelse.<ref name = RM/>