Redigerer Den spesielle relativitetsteorien (avsnitt)

==Lengdekontraksjon==
På samme måte som ved tidsdilatasjon, er det å forvente at målinger av lengder vil gi forskjellige resultat i forskjellige inertialsystem. Hvis stasjonsplattformen har en lengde ''L'', vil den da observert fra toget ha en annen lengde ''L' ''. En observatør på bakken vil si at et punkt på toget behøver en tid ''&Delta;t = L/v'' for å passere plattformen. Men dette er ikke noen egentid da det involverer to hendelser som skjer på forskjellige steder, nemlig begynnelsen og slutten av plattformen. Tilsvarende vil en observatør på toget si at det tar en tid ''&Delta;t' = L'/v'' å gå fra begynnelsen til slutten av plattformen. Og dette er virkelig hans egentid da den er målt på samme sted i hans referansesystem. Men nå er ''&Delta;t'' og ''&Delta;t' '' relaterte ved uttrykket for tidsdilatasjon som dermed gir

: <math> L' = L (1 - v^2/c^2)^{1/2} </math>

Observatøren på toget vil derfor måle en kortere lengde, ''L' < L''. Dette er den berømte [[Lengdekontraksjon|Lorentz-Fitzgerald-kontraksjonen]] som ble fremsatt for å forklare [[Michelson-Morley-eksperimentet]] mens man enda trodde på eksistensen av eteren.<ref name="Subtle"> A. Pais, ''Subtle is the Lord - The Science and Life of Albert Einstein'', Clarendon Press, Oxford (1982). ISBN 0-19-853907-X.</ref> 

Denne sammenhengen mellom tidsdilatasjon og lengdekontraksjon kan observeres i henfall av [[myon|&mu;-partikkelen]] som blir dannet 20 - 30 km oppe i atmosfæren av [[kosmisk stråling]]. Den har en levetid i sitt eget hvilesystem på ''&tau;'' = 2,2&times;10<sup>-6</sup>&thinsp;s, men beveger seg med nesten lyshastigheten etter at den blir skapt på denne måten. Uten tidsdilatasjon skulle den da bevege seg knapt en kilometer. Men observert fra Jorden, vil den i virkeligheten ha en mye lengre levetid og kunne trenge gjennom hele atmosfæren før den henfaller.

Beskrives samme prosessen fra [[myon]]ets hvilesystem, vil utstrekningen av atmosfæren se kortere ut med samme faktor og partikkelen kan lett gå gjennom den i løpet av den korte levetiden på ''&tau;'' = 2,2&thinsp;[[&mu;s]].

Dette resultatet er også direkte innebygd i Lorentz-transformasjonen.
Hvis man kaller endepunktene av plattformen ved stasjonen i det stasjonære systemet for ''x<sub>1</sub>''  og ''x<sub>2</sub>'', vil lengden av den være ''L = x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>''.  Benytter man uttrykket for hvordan disse romlige koordinatene er relaterte til de tilsvarende i toget, har man da

: <math> L = x_2 - x_1 = {x'_2 - x'_1 + v(t'_2 - t'_1)\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} </math>

Men målingen på toget må skje ved samme tidspunkt slik at ''t<sub>1</sub>' = t<sub>2</sub>'&thinsp;.'' Da avleses ''L' = x<sub>2</sub>' - x<sub>1</sub>' '' som lengden til plattformen målt der. Det gir samme resultat for lengdekontraksjonen som over.

===Utledning av Lorentz-transformasjonen===

På samme måte som lengdekontraksjonen kan utledes fra Lorentz-transformasjonen, kan også Lorentz-transformasjonen utledes fra lengdekontraksjonen. Hvis man går ut fra den Galileiske transformasjonen ''x = x' + vt'', så skal den gjelde i det stasjonære systemet. Men her observeres lengden ''x'&thinsp;&thinsp;'', som befinner seg i ro i systemet som beveger seg, kortere med størrelse ''x'/&gamma;'' da '''Lorentz-faktoren'''

: <math>  \gamma  = {1\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} </math>

er større enn en. Man har derfor at  ''x = x'/&gamma; + vt'' som betyr at

: <math> x' = \gamma(x - vt) </math>

Og dette er akkurat hvordan den romlige koordinaten transformerer. Den inverse transformasjonen finner man ved å la ''v &rarr; - v'' som resulterer i
{{nowrap|''x {{=}} &gamma;(x' + vt')''}}. Setter man inn her uttrykket for ''x'&thinsp;,'' kan man løse ut ''t'&thinsp;.'' Det gir

: <math> t' = \gamma(t  - xv/c^2) </math>

som er akkurat Lorentz-transformasjonen for tid.<ref name = Resnick/>