Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

==Geometrisk oppbygning==

Den generelle relativitetsteorien er basert på den fundamental antagelsen at i hvert tilstrekkelig lite område av tidrommet kan man beskrive all fysikk på samme måte som i [[spesiell relativitetsteori]], det vil si som i et [[Kovariant relativitetsteori|Minkowski-tidrom]]. At dette området skal være «tilstrekkelig lite», betyr at alle effekter av kruming kan sees bort fra. Her kan man derfor benytte vanlige koordinater {{nowrap|''x<sup>&alpha;</sup>'' {{=}} (''ct'','''x''')}} for å angi tid ''t'' og sted '''x''' = (''x'',''y'',''z'') for hver hendelse.

Det er vanlig å beskrive relativistisk fysikk med [[Naturlige enheter|naturlige måleenheter]] hvor [[lyshastigheten]] ''c'' = 1. Da vil en avstand kunne angis som den tid lyset behøver for å gå denne strekningen. På den måten oppstår lengdeenheten [[lysår]]. I det følgende vil slike enheter bli benyttet.

To nærliggende hendelser i tidrommet er adskilt ved en koordinatdifferans ''dx<sup>&alpha;</sup>'' som avhenger av hvilket referansesystem man velger å bruke. Men det kvadratiske linjeelementet ''ds''<sup>2</sup> = ''dt''<sup>&thinsp;2</sup> - ''d''&thinsp;'''x'''<sup>2</sup> forblir invariant under et slikt valg.
Ved å innføre Minkowski-metrikken med de diagonale komponentene {{nowrap|''&eta;<sub>&alpha;&beta;</sub>'' {{=}} (1, -1, -1, -1)}}, kan det kvadratiske linjeelementet i dette området da skrives som

: <math> ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = \eta_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta </math>

når man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over all like par med indekser. Dette linjelementet kan i alminnelighet være positivt, null eller negativt. I det første tilfellet sies det å være '''tidlikt''' og er adskilt med en tidsdifferans {{nowrap|''d&tau; {{=}} ds''}}. Når ''ds'' = 0, er linjelementet '''lyslikt''' slik at de to hendelsene er forbundet med et lyssignal. I det siste tilfellet er det '''romlikt''', og man kan finne et referansesystem hvor de to hendelsene skjer samtidig.<ref name = RN/>

===Globale koordinater===

På en [[differensiell flategeometri|krum flate]] kan man i hvert lite område bruke [[euklidsk geometri]], men må benytte globale eller [[krumlinjete koordinater]] for å dekke større deler av flaten. Man kan gå frem på samme måte for et tidrom hvor der virker gravitasjonskrefter. Hvis man her kaller de lokale Minkowski-koordinatene for ''x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>'' og de globale for ''x<sup>&mu;</sup>'', vil man ha en funksjonssammenheng

: <math> x'^\alpha = x'^\alpha(x) </math>

som forbinder de lokale Minkowski-rommene med hverandre, avhengig av hvilken verdi man velger for de globale koordinatene ''x'' til området man betrakter.<ref name = GN/>  Denne sammenhengen er en koordinattransformasjon som man antar kan inverteres i hvert lokalt område. Den differensielle koordinatforskjellen

: <math> dx'^\alpha = {\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu} dx^\mu </math>

kan derfor inverteres å gi

: <math> dx^\mu = {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha} dx'^\alpha </math>

ved å benytte at

: <math> {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\nu} = {\partial x^\mu\over \partial x^\nu} = \delta^\mu_{\;\nu} </math>

hvor resultatet på høyre side er gitt ved et [[Kronecker-delta]] som er 1 eller 0 avhengig av om de to indeksene er like eller ikke.

Nå kan det kvadratiske linjeelementet uttrykkes i de nye koordinatene og blir

: <math> ds^2 = \eta_{\alpha\beta}dx'^\alpha dx'^\beta = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over \partial x^\nu} dx^\mu dx^\nu </math>

Man kan derfor skrive det som

: <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math>

hvor

: <math> g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over \partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over \partial x^\nu}\eta_{\alpha\beta} </math>

er den [[metrisk tensor|metriske tensor]] til hele tidrommet.<ref name = MTW/> Ved å løse [[Einsteins feltligninger|Einsteins gravitasjonsligning]] kan denne metrikken beregnes. Man kan da gjennomføre denne prosessen i motsatt retning ved å finne et lokalt område med Minkowski-koordinater ''x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>'' slik at metrikken der blir

: <math> \eta_{\alpha\beta} =  {\partial x^\mu\over \partial x'^\alpha}{\partial x^\nu\over \partial x'^\beta}g_{\mu\nu}(x) </math>

Strengt tatt er dette foreløbig bare mulig i ett punkt. Men det er mulig å finne slike koordinater for ethvert lite område i tidrommet ved bruk av [[Riemanns differensialgeometri|riemannske normalkoordinater]]. Det tilsvarer at man i dette området har valgt koordinater i en fritt fallende «Einstein-elevator». På denne måten har man dermed en matematisk formulering av [[ekvivalensprinsippet]].<ref name = RN/>

===Geodetiske linjer===

I et slikt fritt fallende koordinatsystem vil enhver fri partikkel følge en rett linje som er en [[geodetisk kurve]] i Minkowski-rommet. Denne bevegelsen er gitt ved [[differensialligning]]en

: <math> {d^2 x'^\alpha\over d\lambda^2} = 0 </math>

hvor ''&lambda;'' er en affin parameter proporsjonal med partikkelens [[egentid]]. Ved nå å benytte at koordinatene ''x'&thinsp;<sup>&alpha;</sup>'' avhenger av de globale koordinatene 
''x<sup>&thinsp;&mu;</sup>'', kan dette skrives som

: <math> {d\over d\lambda}\Big({dx'^\alpha\over d\lambda}\Big) = {d\over d\lambda}\Big({\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{dx^\mu\over d\lambda}\Big)  =  {\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{d^2 x^\mu\over d\lambda^2} + {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\nu}{dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} = 0 </math>

ved bruk av [[kjerneregelen]] for derivasjon. Multipliseres dette med ''&part;x<sup>&sigma;</sup>''/''&part;x'<sup>&thinsp;&alpha;</sup>'', forenkles resultatet slik at det kan skrives som

: <math> {d^2 x^\sigma\over d\lambda^2} + \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over d\lambda}{dx^\nu\over d\lambda} = 0 </math>

Dette er differensialligningen for en [[geodetisk kurve]] i globale koordinater hvor

: <math>  \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu} = {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\nu}{\partial x^\sigma\over\partial x'^\alpha} </math>

er [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbol av andre sort]]. Det er symmetrisk i sine to nedre indekser og opptrer alltid ved derivasjon i [[krumlinjete koordinater]]. Med sine tre indekser kan det se ut som en [[tensor]], men det er det ikke da det ikke transformerer som sådan.<ref name = Carroll/>

I den geodetiske differensialligningen representerer det første leddet med den andre deriverte av koordinaten partikkelens [[akselerasjon]], mens det siste leddet med Christoffel-symbolet uttrykker gravitasjonskreftene som virker på den. De er derfor proporsjonale med kvadratet av partikkelens [[Kovariant relativitetsteori|firehastighet]] ''dx<sup>&mu;</sup>''/''d&lambda;''.

===Christoffel-symbol===

Mens den globale metrikken ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' avhenger av de førstederiverte av ''x'&thinsp;''-koordinatene, involverer  Christoffel-symbolene de andrederiverte av de samme koordinatene. De eksisterer derfor en mulighet for å uttrykke disse ved de førstederiverte av metrikken.  Disse følger fra definisjonen av denne og blir

: <math> {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma} = \eta_{\alpha\beta} {\partial^2 x'^\alpha\over\partial x^\mu\partial x^\sigma}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} +  \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial^2 x'^\beta\over\partial x^\nu\partial x^\sigma} </math>

Her kan man uttrykke de andrederiverte ved Christoffel-symbolene slik at man får

: <math> {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma} = \eta_{\alpha\beta}\Gamma^\rho_{\;\mu\sigma}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\rho}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} +  \eta_{\alpha\beta}\Gamma^\rho_{\;\nu\sigma}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over\partial x^\rho} = g_{\rho\nu}\Gamma^\rho_{\;\mu\sigma} + g_{\rho\mu}\Gamma^\rho_{\;\nu\sigma} </math>

Ved å benytte at både den metriske tensoren og Christoffel-symbolene er symmetriske i sine to indekser, leder dette uttrykket til resultatet

: <math> g_{\sigma\rho}\Gamma^\rho_{\;\mu\nu} = {1\over 2}\left[{\partial g_{\sigma\nu}\over\partial x^\mu} +  {\partial g_{\sigma\mu}\over\partial x^\nu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma}\right]</math>

som kalles for [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbol av første sort]] og skrives som &Gamma;''<sub>&sigma;&mu;&nu;</sub>''. Det er symmetrisk i de to siste indeksene.<ref name = MTW/>

Man kan skrive det første Christoffel-symbolet &Gamma;''<sup>&sigma;</sup><sub>&mu;&nu;</sub>'' ved å innføre de inverse (eller kontravariante) komponentene ''g<sup>&mu;&nu;</sup>'' til den metriske tensoren ved å betrakte de kovariante komponentene ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' som elementene i en  4&times;4 [[matrise]]. Den inverse matrisen har da komponenter som vil oppfylle kravet

: <math> g_{\mu\nu}(x)g^{\nu\lambda}(x) = \delta^\lambda_{\;\mu} </math>

Disse inverse elementene kan formelt finnes fra

: <math> g^{\sigma\rho}(x) = \eta_{\alpha\beta}{\partial x'^\alpha\over\partial x^\mu}{\partial x'^\beta\over\partial x^\nu} </math>
 
da koordinattransformasjonen ''x'&thinsp;'' &rarr; ''x'' er antatt å være reverserbar. Ved å bruke disse kontravariante komponentene av metrikken, kan man da skrive Christoffel-symbolene av andre sort som

: <math> \Gamma^\rho_{\;\mu\nu} = {1\over 2} g^{\rho\sigma}\left[{\partial g_{\sigma\nu}\over\partial x^\mu} +  {\partial g_{\sigma\mu}\over\partial x^\nu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\sigma}\right] </math>

Når den metriske tensoren for tidrommet er kjent, kan dermed disse symbolene finnes ved direkte derivasjon. Man behøver også de kontravariante komponentene til metrikken, noe som krever å invertere en matrise. For mer kompliserte metrikker kan denne beregningen bli ganske omstendelig. Enklere kan de finnes direkte fra utledningen av den geodetiske ligningen fra et kovariant [[variasjonsregning|variasjonsprinsipp]].<ref name = Carroll/>