Redigerer Spredningstverrsnitt (avsnitt)

===Coulomb-spredning===

Den enkleste og viktigste anvendelse av første Born-approksimasjon er for [[Rutherford-spredning]] der det spredende potensial er Coulomb-potensialet

:  <math> V(\mathbf{r}) = - {Ze^2\over  4\pi\varepsilon_0 r } </math>

som virker mellom to partikler med elektrisk ladninger -''e'' og ''Ze''. De to bølgevektorene '''k''' og '''k'&thinsp;''' har samme lengde ''k'' og danner vinkelen ''&theta;&thinsp;'' med hverandre. Derfor har vektoren {{nowrap|'''Q''' {{=}} '''k''' - '''k'&thinsp;'''}} lengden

: <math> Q = 2k\sin{\theta\over 2} </math>

hvor bølgetallet ''k'' er gitt ved energien ''E'' = ''ħ''<sup>2</sup>''k''<sup>2</sup>/2''m'' til den innkommende partikkelen.<ref name = Shankar/>

Fourier-transformasjonen av Coulomb-potensialet kan finnes fra det mer generelle integralet

: <math> \int\!d^3r\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} {e^{-\kappa r}\over 4\pi r}\; = {1\over Q^2 + \kappa^2} </math>

ved å ta grensen ''&kappa;'' &rarr; 0. Dette er ikke avhengig  av den asimutale vinkelen ''&phi;'' da potensialet er rotasjonssymmetrisk. Spredningsamplituden blir dermed

: <math> f(\theta) = {1\over  4\pi\varepsilon_0} {Ze^2\over 4E\sin^2(\theta/2)} </math>,

og det differensielle tverrsnittet for Coulomb-spredning er

: <math> {d\sigma\over d\Omega} = k_e^2 {Z^2e^4\over 16E^2 \sin^4(\theta/2)} </math>

hvor ''k<sub>e</sub>'' = 1/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub> er [[Coulombs konstant|Coulomb-konstanten]] i [[SI-systemet]]. Selv om denne beregningen er basert på kvantemekanikk, er Plancks konstant fallt ut av resultatet som er i nøyaktig overensstemmelse med hva den klassiske beregningen gir. Dette er spesielt for Coulomb-potensialet hvor høyere ledd i Born-approksimasjonen ville ha resultert i en kompleks fasefaktor i spredningsamplituden som ikke ville ha forandret virkningstverrsnittet.<ref name = Griffiths-QM/>