Redigerer Slutsky-likningen (avsnitt)

== Anvendelse av Slutsky-likningen på intertemporal tilpasning ==

=== Utledning ===
Vi kan betegne <math>c_t</math> som antall konsumenheter konsumenten velger å konsumere i periode <math>t</math>. Hvis konsumenten lever i totalt 2 perioder, kan vi skrive hans preferansefunksjon som <math>U(c_1,c_2)</math>. Diskontering er ikke modellert eksplisitt her, men man kunne for eksempel tenke seg at <math>c_2</math>-verdien er hensyntatt diskontering.

Vi antar at han har en eksogen gitt inntekt i hver periode, <math>w_t</math>. Da kan vi formulere sluttverdien av hans livsinntekt som:

<math>(1+r)w_1+w_2 \equiv R</math>. Der <math>r</math> er rentesatsen. 

Konsumentens problem er da å maksimere preferansefunksjonen mhp. budsjettbetingelsen <math>(1+r)c_1+c_2=R</math>. Det gir førsteordensbetingelsen:

<math>{{\partial U\over\partial c_1}\over {\partial U\over\partial c_2}}={(1+r)} </math> 

Vi ser at at rentesatsen opptrer i to roller: Den inngår som variabel i livsinntekten, <math>R</math>, og den er prisen på konsum i periode <math>t</math> målt i enheter konsum i periode <math>t+1</math>. Førsteordensbetingelsene sammen med budsjettbetingelsen gir de ordinære etterspørselsfunksjonene på formen <math>D_i(\vec{p},r, R)  </math> og de kompenserte etterspørselsfunksjonene <math>H_i(\vec{p},r, R)  </math>. 

Derivasjon gir: <math>{dD_1(\vec{p},r, R) \over dr}= \underbrace{{\partial D_1(\vec{p},r, R) \over \partial r}}_{{\partial H_1(\vec{p},r, R) \over \partial r}-c_1^*{\partial D_1(\vec{p},r, R) \over \partial R}}+{\partial D_1(\vec{p},r, R) \over \partial R} \underbrace{{\partial R \over \partial r}}_{w_1}
</math>

Slik at:

<math>(7) \  {dD_1(\vec{p},r, R) \over dr}={\partial H_1(\vec{p},r, R) \over \partial r}+(w_1-c_1^*){\partial D_1(\vec{p},r, R) \over \partial R}</math>

=== Tolkning ===
Likning (7) sier at effekten på etterspørselen i periode 1 ved en renteøkning kan deles inn i en substitusjonseffekt og en inntektseffekt. Substitusjonseffekten, altså første ledd, er alltid negativ: Når renta øker, øker prisen på konsum i dag målt i enheter konsum i morgen. Ergo ønsker konsumenten å substituere seg vekk fra konsum i dag gjennom økt sparing/redusert låneopptak. Siste ledd i likning (7) er inntektseffekten. Så lenge konsum i periode 1 regnes som et normalt gode, vil <math>{\partial D_1(\vec{p},r, R) \over \partial R}>0</math>. Dermed er fortegnet på inntektseffekten bestemt av hvorvidt konsumenten sparer, altså at <math>w_1-c_1^*>0</math>, eller om han låner <math>w_1-c_1^*<0</math>. Dersom han sparer, vil inntektseffekten være positv: økt rentesats gir mer avkastning på pengene han sparer til periode 2. Er han låner, er inntektseffekten negativ: økte kostnader på pengene han låner for å finansiere konsum i periode 1. Vi har dermed at en konsument som låner, vil aldri øke belåningen når rentesatsen øker. Derimot kan det være at en konsument som sparer, vil ønske å spare mindre når rentesatsen øker (dvs. når inntektseffekten dominerer substitusjonseffekten).