Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Sentralsymmetrisk potensial===

Når en partikkel beveger seg i et potensial ''V''(''r''&thinsp;) som bare avhenger av avstanden ''r&thinsp;'' til et sentrum, er det rotasjonssymmetrisk om dette punktet. Det er derfor naturlig å benytte [[kulekoordinater]] (''r, &theta;, &phi;'') istedenfor kartesiske koordinater (''x, y, z'') i Schrödinger-ligningen. Ved å bruke den klassiske identiteten <math> (\mathbf{r}\times\mathbf{p})^2 = r^2p^2 - (\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})^2, </math>  kan man i den kinetiske energien benytte at

: <math> \mathbf{p}^2 = p_r^2 + {1\over r^2}\mathbf{L}^2 </math>

hvor den radielle komponenten er <math> p_r = (\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})/r .</math> Kvantemekanisk blir den en operator som kan finnes fra sammenhengen <math> \hat\mathbf{p}^2 = - \hbar^2\nabla^2 </math> og uttrykket for [[Laplace-operator#Tre dimensjoner|Laplace-operatoren]] i kulekoordinater. Det gir

: <math> \hat{p}_r^2 =  - {\hbar^2\over r^2}  {\partial\over\partial r}\left( r^2 {\partial\over\partial r}\right)  = - \hbar^2 \left({\partial^2\over\partial r^2} + {2\over r} {\partial \over\partial r} \right) </math>

samt operatoren som bestemmer den totale dreieimpulsen

: <math>  \hat\mathbf{L}^2 = -\hbar^2\left[ {1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2} \right] </math>

Ved [[Kvantisert dreieimpuls|kvantisering]] finner man dens egenfunksjoner som er [[Sfærisk harmonisk funksjon|sfærisk harmoniske funksjoner]] {{nowrap|''Y''<sub>ℓ''m''</sub>(''&theta;,&phi;'')}}. Egenverdiene følger fra

: <math>  \hat\mathbf{L}^2 Y_{\ell m}(\theta,\phi) = \hbar^2 \ell(\ell + 1) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

hvor kvantetallet ℓ = 0, 1, 2, 3 og så videre. Heltallet ''m'' ligger i intervallet {{nowrap|- ℓ &le; ''m'' &le; ℓ}} og tar derfor {{nowrap|2ℓ + 1}} forskjellige verdier.  Energien til partikkelen blir uavhengig av dette «magnetiske kvantetallet».<ref name = Griffiths/>

Schrödinger-ligningen kan nå forenkles ved å skrive den fulle bølgefunksjonen som

: <math> \psi(\mathbf{r}) = R(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

Den radielle delen av denne funksjonen må derfor være en løsning av den ordinære [[differensialligning]]en

: <math>  \left[- {\hbar^2\over 2m}\left({d^2\over dr^2} + {2\over r}{d\over dr}\right) +  {\ell(\ell +1)\hbar^2\over 2mr^2} + V(r)\right]R(r)  = E R(r). </math>
 
En videre forenkling kan gjøres ved å innføre funksjonen {{nowrap|''u''(''r'') {{=}} ''r''&thinsp;''R''(''r'')}}, Det sentralsymmetriske egenverdiproblemet blir da redusert til å finne løsninger av ligningen

: <math> - {\hbar^2\over 2m}{d^2 u \over dr^2} + V_{eff}(r) u(r) = E u(r) </math>

hvor det effektive potensialet er

: <math> V_{eff}(r) = V(r) +  {\ell(\ell +1)\hbar^2\over 2mr^2} </math>

Det siste leddet skyldes dreieimpulsen til partikkelen og virker som en [[sentrifugalkraft]] som holder den borte fra origo i ''r'' = 0. I nærheten av dette punktet dominerer leddet og betyr at den radielle funksjonen varierer som ''u''(''r'') &asymp; ''r''<sup>&thinsp;&ell;+1</sup> i dette området.<ref name = Davydov>A.S. Davydov, ''Quantum Mechanics'', Pergamon Press, London (1965).</ref>

Allerede i sitt første arbeid kunne Schrödinger løse denne radielle ligningen for Coulomb-potensialet som opptrer i [[Hydrogenatom#Schrödinger-ligningen|hydrogenatomet]]. Dette gjorde det klart at denne bølgemekaniske formuleringen av kvantefysikken kunne anvendes i langt større grad enn den abstrakte matrisemekanikken til Heisenberg.