Redigerer Induktans (avsnitt)

===Spole i en vekselstrømskrets===
{{Hoved|Vekselstrøm}}

[[File:Sine wave 2.svg|thumb|Fremstilling av en sinusfunksjon over en periode på 360°. De stiplede linjene representere verdien av kurven når gjennomsnittsberegningen kalt [[effektivverdi]] (RMS) gjennomføres. Denne verdien er et irrasjonelt tall med tilnærmet verdi på 0,707 for en sinusformet strøm eller spenning.]]

En vekselstrømskrets er kjennetegnet med at strømmer og spenninger er sinusformede. Det er spennings- og strømkildene som gir ut henholdsvis sinusformede spenninger og strømmer, og dermed sørger for at strøm og spenning overalt ellers i kretsen får samme form. En sinusformet spenning og strøm beskrives med denne matematiske [[Funksjon (matematikk)|funksjonen]]:

:<math> u(t)=\hat u \cos(\omega t + \phi)</math>

:<math> i(t)=\hat i \cos(\omega t + \phi)</math>

der
:<math>u(t) </math> = momentanverdien spenningen i tidspunktet t [V]
:<math>\hat i </math> = maksimumsverdi for strømmen, også kalt amplitude [A]
:<math>\hat u </math> = maksimumsverdi for spenningen (amplitude) [V]
:<math>\omega \, </math> = ''[[vinkelfrekvens]]'' i [[radianer]] [s<sup>-1</sup>]
:<math> t </math> = tiden [s]
:<math>\phi </math> = fasevinkel, faseforskyvning [rad]

Antall perioder per sekund, ''frekvensen'' eller ''periodetallet'' er:

:<math>f = \frac {\omega} {2 \pi}</math>

Vinkelfrekvensen som er brukt i funksjonene over er gitt av følgende sammenheng med frekvensen:

:<math>\omega = 2 \pi f</math>

Enheten for frekvens er [[Hz]] og for vinkelfrekvensen [rad/s]. En sinusformet strøm beskrives på samme måte.

En viktig størrelse som innføres for vekselstrømkretser er [[effektivverdi]]er (''RMS''). Sammenhengen mellom toppverdien og effektivverdien gitt av:

:<math>U_{rms} = \frac{\hat u} {\sqrt {2}}</math>

Dette kalles effektivverdien eller rms av en sinusformet vekselstrøm. Som nevnt er formelen og utledningen for en vekselstrøm identisk:

:<math>I_{rms} = \frac{\hat i} {\sqrt {2}}</math>
 
Siden strømmer og spenninger vil være sinusformede overalt i en krets (så lenge den består av motstand, spoler og kondensatorer gjelder dette uten unntak), er det unødvendig å betrakte størrelsene som tidsvariable trigonometriske funksjoner. Dermed innføres ''fasevektorer'' som defineres slik for en spenning:

:<math> \mathfrak{P} U \cos ( \omega t + \theta) = U e^{j \theta} = \mathbf{U} </math>

Der ''U'' er effektivverdien av spenningen, ''j'' er den komplekse operatoren <math> \sqrt {-1} </math>. <math>\mathfrak{P}</math> er symbolet for at fasevinkeltransformasjon foretas. De andre størrelsene som definert tidligere. En sier at fasevektortransformasjonen overfører sinusfunksjonen fra å være en tidsavhengig størrelse til å være en viser, eller en slags [[Vektor (matematikk)|vektor]], i kompleksplanet. Den beskrives da av sin absoluttverdi og vinkel relativt til andre størrelser, som for eksempel strømmen.

I elektroteknikken innføres notasjonen

:<math>1e^{j \theta} = 1\angle \theta </math>

som er enklere å skrive. Som et eksempel på bruken av dette kan en se på spenningen som er vanlig i stikkontakter i husholdninger. Denne spenningen er på 230 V som transformeres over til:

:<math> 230 \angle{0}^\circ V</math>

Her betyr vinkelen 0° at spenningen defineres til å være referanse, og den ligger da langs den såkalte ''realaksen'' i det komplekse koordinatsystemet.

Formen over kalles for polarform eller polare koordinater, men [[Kartesisk koordinatsystem|kartesisk form]] er like vanlig, da får uttrykket over denne formen:

:<math> \mathbf{U}= U \cos \theta + j U \sin \theta </math>

====Reaktiv impedans====
[[File:Circuito reatância simples.png|thumb|En krets bestående av en vekselspenningskilde og en spole. Spenningskilden gir ut spenningen V<sub>L</sub>, spolen har reaktansen X<sub>L</sub> og strømmen i kretsen er I<sub>L</sub>.]]

Elementet merket ''X<sub>L</sub>'' i kretsen til høyre er en spole, også kalt reaktor i sammenheng med vekselstrøm. Denne forutsettes å være ideell, altså at den er uten ohmsk motstand. Tidligere er denne sammenhengen brukt for spenningen over en spole om strømmen endres:

:<math>u= L\frac{di}{dt}</math>

Når spolen tilknyttes en sinusformet spenning vil det gå en sinusformet strøm i kretsen, og spolen vil reagere med å sette opp en spenning som er motsatt rettet av strømretningen gjennom den. Matematisk kan dette utledes slik:

:<math>u=L\frac{d}{dt} \hat i \cos \omega t = -\hat i \omega L \sin \omega t</math>

En kan bruke identiteten <math> -\sin A = \cos(A + 90^\circ)</math> og dermed omskrive uttrykket slik:

:<math>u=\hat i \omega L \cos ( \omega t+90^\circ)</math>

Det vil oppstå en motindusert spenning i spolen ved økende strøm som er proporsjonal med endringshastigheten av strømmen. Der strømmen har sin største endringshastighet, altså der sinuskurven er brattest, vil størst spenning oppstå. Likeledes vil strømmen ha sin laveste endringshastighet ved maksimum- og minimumspunktet på sinuskurven, og her vil spenningen over spolen være null.

[[File:ACPower03CJC.png|thumb|Strøm (blå kurve), spenning (rød kurve) og effekt (fiolet) i en rent induktiv vekselstrømskrets. Strømmen er 90º etter spenningen. Legg merke til at effekten har en middelverdi lik null. Det betyr at spolen tar til seg og gir fra seg energi, men uten at denne «brukes» det vil si forlater kretsen i form av varme eller annen energiform.]]

I likningen over er vinkelen 90º et uttrykk for at strømmen er etter spenningen. Det er alltid vanlig å bruke spenningen<ref>[[#YL|Young og Freedman: ''University physics'' side 1066.]]</ref> som referanse.

Brukes effektivverdier for strøm og spenning kan uttrykket over skrives uten tilknytning til den trigonometriske funksjonen, slik at spenningsfallet over en spole skrives:

:<math> \mathbf U_L=j \mathbf I \omega L</math>

Der ''j'' igjen er den komplekse operatoren. Begrepet ''induktiv reaktans'' defineres som X<sub>L</sub> = jωL og da kan spenningsfallet skrives slik:

:<math>\mathbf U_L=j \mathbf I X_L</math>

Enheten for reaktans er Ohm (Ω), det samme som for ohmsk motstand. Reaktans er en egenskap som i praksis oppstår i alle ledere og kretselementer som fører vekselstrøm. Over sa en at spenningen i en stikkontakt hadde en vinkel på 0º og altså ligger langs realaksen. Motsatt er det med   reaktansen. Denne størrelse som har j foran seg i uttrykket over, noe som betyr at overført til kompleks form ligger dennes fasevektor langs imaginæraksen. Strøm og spenning vil være nøyaktig   90º ute av fase med hverandre i en rent induktiv vekselstrømskrets: Strømmen vil ligge 90º etter spenningen.

I en kraftledning fører reaktansen til [[spenningsfall]] og er en størrelse en derfor prøver å redusere, men siden den er avhengig av avstanden mellom faselederne er det umulig å gjøre den så liten at den blir uten betydning. Størrelsen av reaktansen er direkte proporsjonal med frekvensen, noe som er en egenskap som kan utnyttes. For eksempel har jernbanen i Tyskland, Sveits, Østerrike, Sverige og Norge en frekvens på 16,7&nbsp;Hz som altså er 1/3 av frekvensen i det øvrige elektriske kraftsystemet. Dette gjør at reaktansen i jernbanens  kontaktledningsnett bare er 1/3 så stor som den ellers ville vært. Med såkalt HVDC-overføring (fra engelsk High Voltage Direct Current transmission) er frekvensen null, og dermed ser en av uttrykk over at det heller ikke blir noen reaktans. Dette er en av fordelene med denne typen overføringer.

Impedans er en fellesbetegnelse på resistans og reaktans. Forholdet mellom disse tre størrelsene uttrykkes slik:

:<math>Z = R+j X</math>

Når reaktansen er forårsaket av induktans kalles den for induktiv reaktans. Effekten som utvikles i reaktanser kalles for [[reaktiv effekt]]. Reaktans oppstår også for kondensatorer, dette betegnes kapasitiv reaktans.

Den inverse verdien av impedans ''Z'' kalles for [[admittans]] og gis symbolet ''Y''. Denne er sammensatt av to størrelser slik:

:<math>Y = {1 \over  Z} = G + j B</math>

der ''G'' er konduktans, den inverse av motstanden, og ''B'' er [[susceptans]], den inverse av reaktans. Måleenheten for admitans, konduktans og susceptans er [[Siemens (enhet)|Siemens]] med symbol S.

====Eksempel: Reaktans i en vekselspenningskrets====
En spole med induktans 80 mH tilknyttes en spenningskilde på 230 V effektivverdi og 50&nbsp;Hz. Hvor stor strøm går det i denne kretsen? Tegningen over viser situasjonen, og spenningskilden kan for eksempel være en stikkontakt. Først må en finne reaktansen i spolen:

:<math> X_L=j \omega L = j 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L = j 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 80 \cdot 10^{-3} = j 25,13 \Omega </math>

og ved hjelp av Ohms lov finner en strømmen slik:

:<math>\mathbf I_L= {\mathbf U \over j X} = {230 \angle{0}^\circ \over j 25,13} = 9,15 \angle{-90}^\circ A </math>

Altså går det en strøm på 9,15 A i kretsen som er 90º etter spenningen.