Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

==Oscillasjoner i flere retninger==

Når oscillatoren bare kan svinge i en retning, kalles det en «endimensjonal harmonisk oscillator». Man kan lett inkludere muligheten for svingninger i flere retninger. Hvis for eksempel partikkelen med masse ''m'' er påvirket av fjærkrefter både i ''x''- og ''y''-retning, vil den totale kraften som virker på den være gitt ved vektoren

: <math> \mathbf{F} = -kx\,\mathbf{e}_x -ky\,\mathbf{e}_y </math>

når man antar at fjærkonstantene i de to retningene har den samme verdien ''k''. Skriver man ned [[Newtons andre lov]], finner man den samme svingeligningen både i ''x''- og i ''y''-retning. Den totale bevegelsen er derfor gitt ved de kombinerte løsningene

:<math> x = A_x\cos(\omega t - \phi_x), \;\;\;  y = A_y\cos(\omega t - \phi_y) </math>

som involverer fire integrasjonskonstanter. For passende begynnelsestidspunktet ''t'' = 0 er det alltid mulig å bestemme de slik at {{nowrap|''&phi;<sub>x</sub>'' {{=}} 0}}. Herav følger at partikkelen følger i alminnelighet en [[ellipse]]bane i ''xy''-planet hvor hovedaksen til ellipsen danner en vinkel med ''x''-aksen som er bestemt av integrasjonskonstantene. Denne vinkelen er null hvis {{nowrap|''&phi;<sub>y</sub>'' {{=}} ''&pi;''&thinsp;/2.}} Hvis i tillegg {{nowrap|''A<sub>x</sub>'' {{=}} ''A<sub>y</sub>&thinsp;''}}, roterer partikkelen rundt på en sirkel med vinkelhastighet {{nowrap|''&omega;'' {{=}} &radic;(''k/m'')}}.

[[Fil:Potenzial ho 2d.png|thumb|300px|Potensialet for en todimensjonal oscillator.]]
Den harmoniske kraften '''F''' som virker på partikkelen, er [[potensiell energi#Konservative krefter|konservativ]] og kan derfor skrives som en [[gradient]]

: <math>  \mathbf{F} = - \boldsymbol{\nabla}V </math>

hvor ''V'' er den [[potensiell energi|potensielle energien]] eller potensialet. For denne todimensjonale oscillatoren har man derfor

: <math> V = {1\over 2} k(x^2 + y^2) </math>

som fremstiller en [[paraboloide|rotasjonsparaboloide]] i rommet.<ref name = BO/>

Tilsvarende, for en harmonisk oscillator som beveger seg i tre dimensjoner med samme fjærkonstant i alle retninger, er den potensielle energien

: <math> V =  {1\over 2} k(x^2 + y^2 + z^2) = {1\over 2}m\omega^2 \mathbf{r}^2 </math>

hvor '''r''' er posisjonsvektoren for partikkelen som beveger seg i dette potensialet. Oscillasjonene i alle tre retninger foregår med samme vinkelfrekvens ''&omega;'' og partikkelen beveger seg i alminnelighet på en [[ellipsoide]].