Redigerer Termodynamikk (avsnitt)

===Noen eksempel===

Et uttrykk for hvordan trykket forandrer seg med temperaturen til systemet når dets volum holdes konstant, er gitt ved koeffisienten

: <math> \beta = {1\over P}  \left({\partial P\over\partial T}\right)_V </math>

Den sykliske identiteten gir nå sammenhengen

: <math>\begin{align}  1 &= - \left({\partial P\over\partial V}\right)_T \left({\partial V\over\partial T}\right)_P \left({\partial T\over\partial P}\right)_V \\ &= {1\over V\kappa_T} \cdot V\alpha\cdot {1\over P\beta} = {\alpha\over\beta\kappa_T P} \end{align} </math>

slik at bare to av disse tre fenomenologiske koeffisientene er uavhengige størrelser da ''&alpha;'' = ''&beta;&kappa;<sub>T</sub>P''.

En viktig funksjon av de termodynamiske variable er den indre energien ''U''(''T,V''). Dens deriverte med hensyn på temperaturen er gitt ved [[varmekapasitet]]en

: <math> C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V </math>

og kan bestemmes ved direkte målinger. Derimot er den deriverte med hensyn på volumet ikke så direkte tilgjengelig. Men den kan knyttes til andre målbare størrelser. Den termodynamiske identiteten {{nowrap|''dU'' {{=}} ''TdS'' - ''PdV&thinsp;''}} viser at de naturlige variable for denne energien er entropien ''S&thinsp;'' og volumet ''V&thinsp;'' med

: <math>  \left({\partial U\over\partial S}\right)_V = T, \quad  \left({\partial U\over\partial V}\right)_S = - P </math> 

Hvis man nå betrakter ''S'' = ''S''(''T,V''), så er ''U''(''S,V'') = ''U''(''S''(''T,V''),''V'') slik at

: <math>\begin{align}  \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T &=  \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S +  \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \\  &= -P + T \left({\partial P\over\partial T}\right)_V  \end{align} </math>

Her har man i siste leddet benyttet [[Maxwell-relasjon]]en

: <math>  \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left({\partial P\over\partial T}\right)_V .</math> 

som kan uttrykkes ved koeffisienten ''&beta;''. For en [[ideell gass]] er ''P'' = ''nRT''/''V&thinsp;'' og dermed {{nowrap|(&part;''U''/&part;''V'')<sub>''T''</sub> {{=}} 0}} slik at den indre energien er uavhengig av volumet til gassen. Det betyr mer konkret at den ikke avhenger av avstanden mellom partiklene som utgjør gassen. De har ingen gjensidige vekselvirkninger. Det har de derimot i en [[Van der Waals tilstandsligning|van der Waals gass]] som har {{nowrap|(&part;''U''/&part;''V'')<sub>''T''</sub> &ne; 0}}.