Redigerer Spredningstverrsnitt (avsnitt)

===Born-approksimasjon===

Når potensialet som virker mellom de kolliderende partiklene er beskrevet ved funksjonen ''V''('''r'''), vil den spredte bølgen være en løsning av den stasjonære Schrödinger-ligningen  som tar formen til en inhomogen [[Helmholtz-ligning]],

: <math> (\nabla^2 +  k^2) \psi(\mathbf{r}) = {2m\over\hbar^2} V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})  </math>

Den har en generell løsning som er gitt ved

: <math>  \psi(\mathbf{r})  = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  + {2m\over\hbar^2} \int \! d^3 r' G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) V(\mathbf{r'})\psi(\mathbf{r'})</math>

hvor den plane bølgen i det første leddet er en løsning av den homogene ligningen og ''G''('''r''','''r'''') er dens [[Green-funksjon]]. Denne er definert ved ligningen

: <math> (\nabla^2 +  k^2) G(\mathbf{r},\mathbf{r'})  = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) </math>

som har løsningen

: <math> G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) =  - \frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}} {4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}  \longrightarrow - {e^{ikr}\over 4\pi r} e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{r'}} </math>

hvor det siste uttrykket gjelder for store avstander fra sprederen der ''r'' &gg; ''r'&thinsp;'' og '''k'&thinsp;''' = ''k''&thinsp;'''r'''/''r'' kan betraktes som bølgevektoren for den spredte  partikkelen. Det generelle resultatet for spredningsamplituden kan derfor leses ut fra det siste leddet i den formelle løsningen. Her kan man for ''&psi;''('''r'''') sette inn det tilsvarende uttrykket og kan på den måten komme frem til en rekke for spredningsamplituden hvor de første leddene  representerer én enkel spredning på potensialet, to påfølgende spredninger og så videre.<ref name = Griffiths-QM> D. J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.</ref>
 
Den laveste [[Vekselvirkningsbildet#Laveste Born-approksimasjon|Born-approksimasjon]]en betyr å beholde bare det første leddet i  rekkeutviklingen. Det tilsvarer første ordens [[Kvantemekanisk perturbasjonsteori#Potensialspredning|perturbasjonsteori]] og gir det eksplisitte resultatet

: <math> f(\theta,\phi) = -  {m\over 2\pi\hbar^2} \int \!d^3 r' e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k'})\cdot\mathbf{r'}}V(\mathbf{r'}) </math>

for spredningsamplituden. Den er gitt som en [[Fourier-transformasjon]] av spredningspotensialet.