Redigerer
Projektivt plan
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
== Pappos' teorem == [[Fil:Pappos.jpg|thumb|300px|Pappos' teorem sier at skjæringspunktet ''K'' mellom linjene ''AB' '' og ''BA' '', skjæringspunktet ''L'' mellom ''AC' '' og ''CA' '' samt skjæringspunktet ''M'' mellom ''BC' '' og ''CB' '' ligger på en felles linje (rød).]] Teoremet som i dag blir omtalt som [[Pappos' teorem]] ble formulert for snart to tusen år siden av [[Pappos fra Alexandria]]. Han viste det ved hjelp av euklidsk geometri. Men da det kun omhandler linjer mellom skjæringspunkt mellom andre linjer, har det større gyldighet og er av grunnleggende betydning i projektiv geometri. Man har gitt en linje med tre punkt ''A'', ''B'' og ''C '' samt en annen linje med punktene ''A' '', ''B' '' og ''C' ''. Da vil skjæringspunktet mellom linjene ''AB' '' og ''BA' '', skjæringspunktet mellom ''AC' '' og ''CA' '' samt skjæringspunktet mellom ''BC' '' og ''CB' '' ligge på en og samme linje som kalles ''Pappos-linjen''. Dette resultatet er uavhengig av hvordan punktene ordnes på de to linjene. For å bevise setningen kan man igjen benytte homogene koordinater. I det projektive planet vil linjene skjære hverandre i et felles punkt ''P''. På den første linjen kan man benytte dette punktet samt punktet ''A'' som referansepunkt. Da vil man kunne skrive {{nowrap|''B {{=}} P + A'' }} og {{nowrap|''C {{=}} λP + A''.}} Likedan velger man ''P'' og ''A' '' som referansepunkt på den andre linjen slik at {{nowrap|''B' {{=}} P + A' ''}} og {{nowrap|''C' {{=}} λ'P + A' ''.}} Da skjæringspunkt ''K'' er mellom linjene ''AB' '' og ''BA' '', må koordinatene til dette punktet kunne skrives som {{nowrap|''(P + A') + A''}} eller {{nowrap|''(P + A) + A' ''.}} Derfor har man ganske enkelt at {{nowrap|''K {{=}} P + A + A' ''.}} På samme måte må koordinatene for skjæringspunktet ''L'' mellom linjene ''AC' '' og ''CA' '' skrives som en tilsvarende lineærkombinasjon mellom koordinatene til disse punktene. Det medfører at {{nowrap|''L {{=}} λλ'P + λA' + λ'A'' }} = {{nowrap|''λ(λ'P + A') + λ'A'' {{=}} ''λ'(λP + A) + λA' ''}}. Et bestemt punkt ''M'' på linjen mellom ''K'' og ''L'' har nå koordinatene ''M = K - L''. Utregnet gir det {{nowrap|''M {{=}} (1 - λ')(P + A) + (1 - λ)(λ'P + A')''}} = {{nowrap|''(1 - λ)(P + A') + (1 - λ')(λP + A)''.}} Men det betyr at dette punktet ''M'' også er skjæringspunktet mellom linjene ''BC' '' og ''CB' ''. Derfor ligger de tre skjæringspunktene ''K'', ''L'' og ''M''  på samme linje. I dette algebraiske beviset for Pappos' setning inngår det ikke noe sted hvordan punktene på de to linjene er ordnet seg i mellom. Det er derfor uavhengig av dette. Men for hver ordning vil den tilsvarende Pappos-linjen være forskjellig. Ser man nøyere på det samme beviset, oppdager man også at det er nødvendig å ha ''λ'λ = λλ' ''. De homogene koordinatene som benyttes i det projektive planet må derfor tilhøre en [[kropp (matematikk)|tallkropp]] som er [[kropp (matematikk)|kommutativ]], det vil si at faktorenes rekkefølge ikke er viktig. === Dual versjon === I projektiv geometri har hvert utsagn en dual versjon. For det projektive planet arter denne dualiseringen seg ved ombytte av punkt og linje slik at to punkter definerer en linje, mens to linjer definerer et punkt. Den duale versjon av Pappos tar derfor utgangspunkt i to gitte punkt. Gjennom det ene går linjene ''a'', ''b'' og ''c'', mens gjennom det andre går linjene ''a' '', ''b' '' og ''c'''. Da definerer skjæringspunktene ''a⋅b' '' og ''b⋅a' '' en linje ''k'', skjæringspunktene ''a⋅c' '' og ''c⋅a' '' en linje ''l'', mens skjæringspunktene ''b⋅c' '' og ''c⋅b' '' definerer en linje ''m''. Pappos' duale teorem sier da at disse tre linjene ''k'', ''l'' og ''m''  går gjennom samme punkt. Det kan bevises på en helt analog måte som i den første versjonen.
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon