Redigerer Peltonturbin (avsnitt)

==== Optimal hastighet for løpehjulet ====
Om en tenker seg et løpehjul til en peltonturbin som holdes helt i ro mens vannstrålen virker på det, vil det ikke utvikles noen effekt. Skal det utvikles et arbeid må det også skje bevegelse. Den andre ytterligheten er at løpehjulet får rotere helt fritt, da vil periferihastigheten bli lik vannstrålens hastighet. Da utvikles det heller ikke noe arbeid fordi det knapt er noen kraft som virker på løpehjulet. For øvrig kalles denne hastigheten for turbinens ''ruseturtall''. Utfordringen er da å finne den hastigheten mellom disse ytterpunktene der det utvikles optimal effekt. Nedenfor skal dette utledes analytisk.

[[Fil:Pelton turbine bucket and velocity vectors..jpg|thumb|400px|Skisse som viser vannstrålen mot en skål på peltonturbinens løpehjul. [[Vektor (matematikk)|Hastighetsvektorer]] med notasjon der 1 betyr inngangshastighet og 2 utgang. Videre står u for rotorens periferihastighet, vannstrålens relative hastighet (i forhold til løpehjulet) er w og c er strålens absolutte hastighet. Med absolutt hastighet menes her den hastigheten en stillestående observatør utenfor rotoren vil oppfatte.]]

Ideelt skal altså forholdene i en peltonturbin være slik at vannet kastes ut av skålene på løpehjulet i en 180° vinkel. Imidlertid er ikke dette tilfellet for en praktisk konstruksjon og vannet forlater skålene i en vinkel på 165° til 170° som nevnt ovenfor. Andre forhold som heller ikke er ideelle er at det oppstår friksjon mellom vann og stål både i dysen og i skålene.<ref name="Atth" /> Dette er forhold som gjør at virkningsgraden er lavere enn 100 % og at en matematisk analyse kan bli komplisert.

[[Turbin#Hovedligningen for turbiner|Eulers turbinligning]] er generell for alle turbiner og forteller om forholdet mellom hastigheten til fluidet og løpehjulet ved inngang og utgang:

:<math> P = \rho Q (u_1 c_{1u} - u_2 c_{2u}) </math>

der:
:<math>\rho</math> = vannets tetthet 1000 kg/m³,
:Q = vannstrømning [m³/s],
:u<sub>1</sub> = [[Vektor (matematikk)|vektor]] for rotorens [[Hastighet|periferihastighet]] ved innløp [m/s²],
:u<sub>2</sub> = vektor for rotorens periferihastighet ved utgangen[m/s²],
:c<sub>1u</sub> = projeksjonen av vannstrålens hastighetsvektor normalt på radius (tangentiell komponent) ved  innløp [m/s²], og
:c<sub>2u</sub> = projeksjonen av vannstrålens hastighetsvektor normalt på radius ved utløp [m/s²].

For en peltonturbin vil vannstrålens ''absolutte hastighet'' (absolutte hastigheten er hastigheten en observatør som står stille og ser inn mot rotoren vil registrere, den er en vektor med både fart og retning.) mot skålene og hastigheten til den tangentielle komponenten på radius ha samme retning, se illustrasjonen til høyre. Den tangentielle hastighetskomponenten ved inngangen c<sub>1u</sub> er derfor lik hastigheten til skålen der strålen treffer den, altså c<sub>1u</sub> = c<sub>1</sub>. Strålens tangentielle komponent ved utløp av skålen er gitt av: c<sub>2u</sub> = u<sub>2</sub> - w<sub>2</sub>cos <math>\beta_2</math>. 

Der vinkelen <math>\beta_2</math> er definert i tegningen over til venstre. Antas det videre at strålen kommer inn på og forlater skålen på samme radielle punkt kan den tangentielle hastigheten settes til  u<sub>1</sub> = u<sub>2</sub> = u. Ved innsetting i Eulers turbinligning fås:

<math> P = \rho Q u (c_{1u} - c_{2u}) = \rho Q u (c_1 - u_2 + w_2 cos \beta_2)  </math>

Av definisjonene av hastighetsvektoren har en at c<sub>1</sub>-u<sub>1</sub> = w<sub>1</sub>. Dermed kan ligningen over omformes til en ligning for effekt i en peltonturbin:

<math> P = \rho Q u (w_1 + w_2 cos \beta_2) </math>

Tapsfaktoren defineres slik: <math> \triangle </math> = 1 – w<sub>2</sub>/w<sub>1</sub>. Denne faktoren forteller om fluidets reduserte hastighet på grunn av friksjon i skålen. Ved innsetting i formelen får likningen denne formen:

<math> P = \rho Q u w_1(1+ (1-\triangle) cos \beta_2) </math>

Videre defineres c<sub>0</sub> som strålens hastighet ut av dysen:

<math> c_0 = k_{c0}\sqrt{2gH} </math>

der k<sub>c0</sub> er et tall mellom 0,96 og 0,99 som nevnt over, og har å gjøre med redusert hastighet gjennom dysen på grunn av friksjon. 

Videre defineres løpehjulets hastighetskoeffisient k<sub>u</sub>:

<math> u = k_u\sqrt{2gH} </math>

Ved innsetting av alle disse nye faktorene fås ligningen for effekt i peltonturbinen på formen:

<math> P = \rho Q k_u\sqrt{2gH}(k_{co}\sqrt{2gH}-k_u\sqrt{2gH}(1+ (1-\triangle) cos\beta_2) = 2\rho gQHk_u(k_{co}-k_u)(1+(1-\triangle) cos \beta_2)</math>

Det som nå er av interesse, er å finne når faktoren k<sub>u</sub> gir forholdene for maksimalt utviklet effekt. Eller sagt på en annen måte: Hvilket forhold må det være mellom vannstrålens hastighet og løpehjulets pereferihastighet for at mest mulig effekt skal utvikles i turbinen? Fra [[matematisk analyse]] vet en at derivering av uttrykket under betingelsen:

<math> {\partial P\over\partial k_u} = 0</math>

gir betingelsene der k<sub>u</sub> gir størst verdi for formelen for P:

<math> {\partial P\over\partial k_u} = (2\rho gQ)(1 + (1-\triangle) cos\beta_2)(k_{c0}-2k_u) = 0</math>

Betingelsen for å få maksimal effekt blir av dette k<sub>u</sub> = k<sub>co</sub>/2. Altså at løpehjulet må ha en hastighet som er noe under halvparten av vannstrålens hastighet (k<sub>u</sub> = 0,48 - 0,495). I praktiske tilfeller viser det seg at effekten blir størst om faktoren er et tall mellom 0,45 og 0,5.<ref name="Hyddyn" />