Redigerer Magnet (avsnitt)

==Magnetiske krefter==

Den enkleste utgave av en magnet er en [[magnetisk dipol]]. Det fysiske bildet av denne er en liten strømsløyfe som omslutter et areal ''A''. Er strømmen i sløyfen ''I'', har den et [[magnetisk moment]] med størrelse ''m = IA'' og rettet vinkelrett til sløyfens plan. Plasseres dipolen et ytre magnetfelt '''B''', vil den påvirkes av en [[magnetisk felt|magnetisk kraft]] gitt ved [[Lorentz-kraft]]en. Resultatet er at den vil påvirkes av et [[dreiemoment]]

: <math> \mathbf{T} = \mathbf{m}\times\mathbf{B} </math>

som vil prøve å rette inn dipolen etter feltet. Denne rotasjonskraften tilsvarer den [[Magnetfelt#Magnetisk energi|potensielle energien]] 

: <math> V = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math> 

Disse to uttrykkene er av samme form som for en [[elektrisk felt#Dipolfeltet|elektrisk dipol]] i et elektrisk felt og kan utledes på samme måte ved å bruke Gilbert-modellen med to motsatte, magnetiske ladninger for dipolen. 

Hvis magnetfeltet har en romlig variasjon '''B'''('''r'''), vil dipolen også bli utsatt for en ekstra kraft

: <math>\mathbf{F} = (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} = m_x{\partial\mathbf{B}\over\partial x}  + m_y{\partial\mathbf{B}\over\partial y}  + m_z{\partial\mathbf{B}\over\partial z}  </math>

som prøver å flytte den. Dette uttrykket kan alternativt skrives som '''F''' = -'''&nabla;'''&thinsp;''V'' da man har '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B''' = 0 i denne situasjonen. Denne translatoriske kraften kan også utledes ved å betrakte dipolen som en strømsløyfe.<ref name = RPF>R.P. Feynman, [http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_15.html ''The Feynman Lectures on Physics''], Volume II, Chapter 15, [[Caltech]], Pasadena (2003).</ref>

Da [[gradient]]ene til magnetfeltet rundt en stavpunkt er størst rundt dens ender, vil fritt bevegelig jernfilspon i størst grad samles der. Et konstant magnetfelt kan dreie, men ikke flytte en magnetisk gjenstand.

===Dipol-dipol kraft===

[[Fil:VFPt cylindrical magnets attracting.svg|thumb|300px|Feltlinjer rundt to stavmagneter som tiltrekker hverandre.]]
Kraften mellom to magneter i tilstrekkelig stor avstand fra hverandre, kan beregnes ved å betrakte dem begge som [[magnetisk dipol|magnetiske dipoler]] med momenter '''m'''<sub>1</sub> og '''m'''<sub>2</sub> ved bruk av formelen {{nowrap|('''m'''<sub>2</sub>&sdot;'''&nabla;''')'''B'''<sub>1</sub>}}. Plasseres '''m'''<sub>1</sub> i origo, er dens felt '''B'''<sub>1</sub> gitt ved den vanlige dipoluttrykket. Med '''m'''<sub>2</sub> i posisjon '''r''' finnes da kraften mellom magnetene som

:<math>
  \mathbf{F} =   \frac{3\mu_0}{4 \pi r^4}\Big[(\mathbf{m}_1\cdot\hat\mathbf{r})\mathbf{m}_2 + (\mathbf{m}_2\cdot\hat\mathbf{r})\mathbf{m}_1 +
    (\mathbf{m}_1\cdot\mathbf{m}_2)\hat\mathbf{r} - 5(\mathbf{m}_1\cdot\hat\mathbf{r})(\mathbf{m}_2\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} \Big]
</math>

Den avtar med fjerde potens av avstanden og har som forventet en komplisert avhengighet av den relative orienteringen av de to dipolene. Det kan forstås som resultatet av de fire magnetiske Coulomb-kreftene som virker mellom de to polene på den ene magneten og de to polene til den andre magneten.<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.</ref>

I det spesielle tilfellet at begge magnetene ligger langs ''x''-aksen med samme retning slik at N-polen på den ene magneten er hovedsakelig tiltrukket av S-polen på den andre, tar denne kraften en enkel form. Den kan i dette spesielle tilfellet beregnes mer direkte fra 

: <math> F = \Big(m_2{d\over dx}\Big) {\mu_0 m_1\over 2\pi x^3} = - \frac{3\mu_0}{2\pi} \frac{m_1 m_2}{x^4}</math>

hvor minustegnet bekrefter at magneten tiltrekker hverandre. Kraften mellom magnetene avtar med avstanden i fjerde potens som er mye raskere enn kraften mellom to isolerte ladninger.

Denne dipolantagelsen bryter sammen når magnetene er nær hverandre. Da vil den generelle formelen bare gi et approksimativt svar. Men hvis begge magnetene er kuleformete og uniformt magnetiserte, er feltet utenfor hver av dem gitt nøyaktig som for en ideell dipol plassert i kulenes sentrum.

===Maxwell-spenning===

Hvis begge endene til en stavmagnet bøyes slik at dens N-pol står direkte overfor sin egen S-pol, ville disse to polene trekkes mot hverandre med en magnetisk kraft. Er endeflatene plane, kan man anta at de etter bøyningen igjen er parallelle med hverandre slik at feltet i luftgapet mellom dem er homogent. Kraften mellom disse to magnetpolene kan da ikke beregnes i samme dipolapproksimasjon, men derimot som kraften mellom de to platene i en ladet [[Elektrisk felt#Kondensator|plan kondensator]]. Hvis magneten har magnetiseringen ''M'', er den magnetiske ladningen på den ene endeplaten {{nowrap|''Q<sub>m</sub> {{=}} AM''&thinsp;}} hvor ''A'' er arealet til denne platen. Det magnetiske feltet fra den andre er {{nowrap|''B'&thinsp;'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''M''/2&thinsp;}} slik at kraften mellom endeflatene blir 

: <math> F = Q_mB' = {1\over 2}\mu_0AM^2 </math>

Men nå er det totale, magnetiske feltet i luftgapet ''B'' = 2''B' = &mu;''<sub>0</sub>''M''&thinsp; da ladningene på begge endeflatene bidrar til det. Attraktiv kraft per flateenhet er derfor det negative trykket

: <math> P = {F\over A} = {B^2\over 2\mu_0} = {1\over 2}BH </math>

da ''B =  &mu;''<sub>0</sub>''H''&thinsp; i luftgapet. Dette kalles en «Maxwell-spenning» og har samme form som den tilsvarende spenningen i et [[Elektrostatikk#Maxwells spenningstensor|elektrisk felt]]. De inngår begge som komponenter i [[Maxwells spenningstensor]] som kan benyttes til å beregne elektriske og magnetiske krefter på utstrakte legemer uten å kjenne direkte til de elektriske ladningene og strømmene som de inneholder.

===Regneeksempel===

Ved å bruke verdien

: <math> {\mu_0\over 4\pi} = 10^{-7} \mbox{N}/\mbox{A}^2  </math>

for den [[permeabilitet (fysikk)|magnetiske konstanten]], finner man for et magnetfelt {{nowrap|''B'' {{=}} 1&thinsp;[[tesla]]}} = {{nowrap|1&thinsp;N/Am}} et Maxwell-trykk av størrelse {{nowrap|''P'' {{=}} 4&sdot;10<sup>5</sup>&thinsp;N/m<sup>2</sup>}}. Dette tilsvarer fire ganger normalt [[Atmosfærisk trykk|lufttrykk]] som kan resultere i store krefter.

Det er denne effekten som gjøres bruk av når en hesteskomagnet benyttes til å løfte tunge metallgjenstander.  I dette tilfellet går den magnetiske fluksen fra N-polen, gjennom jernet tilbake til S-polen i en [[magnetisk krets]]. Ved å anta at magnetpolene har sirkulære endeflater med diameter på {{nowrap|5&thinsp;cm}}, finner man en kraft {{nowrap|''F'' {{=}} 800&thinsp;[[Newton (enhet)|N]]}} fra hver pol. For hesteskomagneten med to slike luftgap blir derfor den totale kraften av størrelse {{nowrap|1600&thinsp;N}}. Dette er nok til å løfte et stykke jern med en masse rundt {{nowrap|160&thinsp;kg}}.

===Magnetisk feltenergi===
Utvides luftgapet mellom de to magnetiske endeflatene med &Delta;''x'', må man utføre arbeidet ''F''&Delta;''x''. Dette går med til å øke den magnetiske feltenergien i dette gapet. Har denne energitettheten ''u<sub>B</sub>'', vil det utførte arbeidet gå med til å øke denne med

: <math> u_B\Delta V = F\Delta x </math>

der økningen i luftgapets volum er &Delta;''V'' = ''A''&Delta;''x''. Dette betyr at energitettheten i det magnetiske feltet er

: <math> u_B = {B^2\over 2\mu_0} = {1\over 2}BH </math>

En mer [[magnetfelt#Magnetisk energi|teoretisk betraktning]] viser at dette resultatet også holder når magnetfeltet varierer '''B'''('''r''') i rommet.  Mer generelt kan det utledes fra [[Elektromagnetisk felt#Poyntings teorem|Poyntings teorem]] som en direkte konsekvens av [[Maxwells ligninger]] når feltet i tillegg varierer med tiden.<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref>

===Kjøleskapsmagnet===
[[Fil:Fridge Magnet Halbach.svg|thumb|right|Magnetiske domener er regelmessig arrangert i en kjøleskapsmagnet.]]

En kjøleskapsmagnet består av et tynt lag av ferromagnetisk materiale som på den ene siden har et belegg som kan brukes til bilder, tekst eller andre illustrasjoner.  Magnetiseringen består av regelmessige [[ferromagnetisme|domener]] som er arrangert slik at magnetfeltet på siden mot kjøleskapsdøren ser ut som en serie med små hesteskomagneter av samme størrelse som domenene og med vekselende polaritet. Denne siden kan derfor festes til en kjøleskapsdør med høy magnetisk [[permeabilitet (fysikk)|permeabilitet]] ved at det oppstår en attraktiv Maxwell-spenning i et tynt luftgap mellom døren og magneten.<ref name = Zangwill/>

De regelmessig arrangerte domenene gir et netto magnetfelt som går raskt mot null utenfor magneten da de virker i motsatt retning. I en avstand som tilsvarer størrelsen av disse, kan det settes tilnærmet lik null. Tiltrekningen mot kjøleskapsdøren blir likevel sterk når luftgapet er svært lite da den er bestemt av magnetiseringen til hver domene og er uavhengig av retningen til denne i hver domene.