Redigerer Ligning (matematikk) (avsnitt)

== Algebraiske ligninger ==
En algebraisk ligning over en gitt [[kropp (matematikk)|kropp]] er en [[polynom]]ligning der koeffisientene er inneholdt i den definerte kroppen. En algebraisk ligning i én variabel over mengden av reelle tall har den generelle forma

: <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0 \, </math>

der koeffisientene ''a<sub>i</sub>'' (''i'' = 1,….,''n'') er reelle tall.

[[Andregradsligning]]en er en av de enkleste algebraiske ligningene. Et velkjent eksempel på en algebraisk ligning i to variabler er ligningen for en sirkel med radius lik 1:

: <math>x^2 + y^2 = 1 \, </math>

Generaliseringer av slike ligninger ligger til grunn for [[algebraisk geometri]].

=== Algebraens fundamentalteorem ===
Ifølge [[algebraens fundamentalteorem]] har en kompleks ''n''-te-grads polynomligning av én variabel eksakt ''n'' røtter, når [[rot til en ligning|multiplisiteten]] til rota er tatt i betraktning. Dersom røttene ''x<sub>i</sub>'' (''i'' = 1,…,''n'') er kjente, så kan polynomligningen skrivest på den faktoriserte forma

: <math>a_n ( x- x_1)(x-x_2) \dots (x - x_n) = 0 \, </math>

Røttene trenger ikke være reelle, selv om koeffisientene i polynomet er reelle.

=== Galois-teori ===
I [[Galois-teori]], oppkalt etter matematikeren [[Évariste Galois]], studerer en relasjoner mellom røttene i algebraiske ligninger.

På samme måte som andregradsligninger kan også løsning av tredjegradsligninger og fjerdegradsligninger uttrykkes på lukket form ved hjelp av aritmetiske operasjoner og [[n-te-rot|rotutdraginger]]. Cardanos metode gir løsningen av den generelle tredjegradsligningen, mens Ferraris metode kan brukes for fjerdegradsligninger.

I 1824 viste [[Niels Henrik Abel]] at dette ikke er mulig for løsningen av den generelle polynomligningen av grad større eller lik fem, og dette resultatet er kjent som ''Abel-Ruffini-teoremet''.
Merk at fundamentalteoremet viser at også femtegradsligninger alltid har løsninger, – en kan bare ikke alltid uttrykke disse på sluttet form.