Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

==Total dreieimpuls==

Den første antydning til at det fantes en indre dreieimpuls eller spinn '''S''' i atomene i tillegg til den orbitale dreieimpulsen '''L''', var den anomale [[Zeeman-effekt#Anomal Zeeman-effekt|Zeeman-effekten]]. Vekselvirkningen eller [[spinn-banekobling]] mellom disse to dreieimpulsene ga opphav til et nytt ledd i [[Hamilton-operator]]en til atomet som dermed tok den skjematiske formen

: <math> \hat{H} = \hat{H}_0(r) + g(r)\hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{S}}</math>

Mens den tidligere delen <math> \hat{H}_0 </math> er rotasjonsinvariant og derfor gir egenverdier for energien som kan karakteriseres ved det orbitale kvantetallet ℓ, kommuterer ikke det siste leddet med dreieimpulsoperatoren <math> \hat{\mathbf{L}} </math>. Det følger fra

: <math>\begin{align} \left[\hat{L}_a, \hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{S}}\right] &= \left[\hat{L}_a, \hat{L}_b\hat{S}_b\right] =  \left[\hat{L}_a ,\hat{L}_b\right]\hat{S}_b\\ &=  i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c \hat{S}_b \end{align}</math>

når man bruker [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over like indekser. Sammenlignes dette nå med den tilsvarende kommutatoren

: <math> \left[\hat{S}_a, \hat{L}_b\hat{S}_b\right] = \hat{L}_b \left[\hat{S}_a, \hat{S}_b\right]  = i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_b \hat{S}_c, </math>

vil

: <math> \left[\hat{L}_a + \hat{S}_a, \hat{\mathbf{L}}\cdot \hat{\mathbf{S}}\right] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}(\hat{L}_c \hat{S}_b + \hat{L}_b \hat{S}_c) = 0 </math>

da leddet i parentes er symmetrisk i de to indeksene, mens Levi-Civita-symbolet er antisymmetrisk i de samme indeksene. Dette betyr at den totale dreieimpulsoperatoren

: <math> \hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}} </math>

kommuterer med spinn-baneleddet slik at dens egenverdier kan brukes til å beregne egenverdiene for den fulle Hamilton-operatoren.<ref name = BM/>

Hvis størrelsen til den nye operatoren er gitt ved et kvantetall ''j'', vil den ha egenvektorer som oppfyller

: <math> \begin{align} \hat{\mathbf{J}}^2 |j,m\rangle &= \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle \\ \hat{J}_z |j,m\rangle &= \hbar m |j,m\rangle  \end{align}</math>

hvor det magnetiske kvantetallet ''m'' igjen kan ta 2''j'' + 1 forskjellige verdier mellom +''j&thinsp;'' og -''j''. Det kan anta både heltallige og halvtallige verdier. Derfor kan dette både kalles for spinn og dreieimpuls.

===Addisjon av dreieimpulser===

Konstruksjon av de egenvektorene <math> |j,m\rangle </math> til den totale dreieimpulsen <math> \hat{\mathbf{J}} </math> kan igjen gjøres ved å la senkeoperatoren  <math> \hat{J}_-  </math> virke på den høyeste egenvektoreren <math> |j,j\rangle.</math> Den er igjen definert ved at <math> \hat{J}_+ |j,j\rangle = 0 </math> og må være gitt ved produktet

: <math> |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, \ell + {\textstyle\frac 1 2}\rangle  = |\ell,\ell \rangle |\uparrow \rangle </math>

Dens egenverdi for  <math> \hat{J}_z = \hat{L}_z +   \hat{S}_z  </math> gir det magnetiske kvantetalllet ''m'' = ℓ + 1/2 som derfor også må være verdien til kvantetallet ''j''. Ved nå å anvende <math> \hat{J}_-  = \hat{L}_-  + \hat{S}_-   </math> på denne tilstanden, vil man finne en ny med samme verdi for ''j'', men med ''m'' = ℓ - 1/2. Utregningen gir

: <math>  |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, \ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle = \sqrt{2\ell\over 2\ell + 1} |\ell,\ell -1 \rangle |\uparrow  \rangle +   \sqrt{1\over 2\ell + 1} |\ell,\ell  \rangle |\downarrow \rangle </math>

Slik kan man fortsette og generere ny egenvektorer i den samme stigen hvor alle har samme kvantetall ''j'' = ℓ + 1/2, men stadig mindre kvantetall ''m''. Til slutt står man igjen med den laveste tilstanden <math> |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, -\ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle  = |\ell, -\ell \rangle |\downarrow \rangle. </math> En generell tilstand i denne stigen blir

: <math>\begin{align}  |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, m\rangle &= \sqrt{\ell + m + {\textstyle\frac 1 2}\over 2\ell + 1}|\ell, m - {\textstyle\frac 1 2} \rangle |\uparrow \rangle\\ &+ \sqrt{\ell - m + {\textstyle\frac 1 2}\over 2\ell + 1}|\ell, m + {\textstyle\frac 1 2} \rangle |\downarrow \rangle \end{align} </math>

Koeffisientene i slike lineærkombinasjoner av egentilstander for dreieimpuls kalles for «Clebsch-Gordan-koeffisienter» og kan utregnes en gang for alle.<ref name = Abers/>

Da egenvektoren <math>  |\ell + {\textstyle\frac 1 2}, \ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle </math> er en lineærkombinasjon av to andre tilstander, kan man finne en ny vektor

: <math>  |\ell - {\textstyle\frac 1 2}, \ell - {\textstyle\frac 1 2}\rangle = - \sqrt{1\over 2\ell + 1} |\ell,\ell -1 \rangle |\uparrow  \rangle +   \sqrt{2\ell\over 2\ell + 1} |\ell,\ell  \rangle |\downarrow \rangle </math>

som er [[vinkelrett|ortogonal]] til denne. Den har et magnetisk kvantetall ''m'' = ℓ - 1/2. 
Når  <math> \hat{J}_+  </math> virker på denne egenvektoren, er resultatet null. Den må derfor være den høyeste tilstanden i en ny stige med ''j'' = ℓ - 1/2 og inneholdende  i alt  2''j'' + 1 = 2ℓ andre tilstander med samme ''j''. De to stigene består av tilsammen 2ℓ + 2 + 2ℓ = 2&sdot;(2ℓ +1) egenvektorer som er lik med antallet av de opprinnelige tilstandene. Man kan dermed konkludere at addisjon av dreieimpulsen ℓ og et spinn ''s'' = 1/2 gir en total dreieimpuls som kun kan være ''j'' = ℓ &pm; 1/2. Dette resultatet kan generaliseres til å gjelde for addisjon av vilkårlig [[Stigeoperator#Addisjon av dreieimpulser|store dreieimpulser]].<ref name = BM/>

Addisjon av to spinn ''s'' = 1/2 kan gjøres på samme måte. Det resulterende spinnet vil da enten bli ''j'' = 1 med tre tilstander eller ''j'' = 0 med én tilstand. Disse to multiplettene blir derfor omtalt som henholdsvis en '''triplett''' og en '''singlett'''.