Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Kanoniske kommutatorer===

Impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} </math> virker på alle funksjoner som står på den høyre siden av den som ved vanlig [[derivasjon]]. Da er for eksempel

: <math> {\partial\over\partial x} xf(x) = f(x) + x {\partial \over\partial x}f(x) </math>

som kan skrives på den litt mer abstrakt formen

: <math> {\partial\over\partial x} x -  x {\partial \over\partial x} = 1  </math>

En videreføring av denne skrivemåten er å tenke seg en «enhetsoperator» som kan virke på enhver funksjon og gir samme funksjon tilbake som resultat. Likedan kan man tenke seg en «posisjonsoperator» <math> \hat{x} </math> som virker på en funksjon ''f''&thinsp;(''x&thinsp;'') og gir dermed ''xf''&thinsp;(''x&thinsp;'') tilbake.
For impulsoperatoren i ''x''-retning gjelder derfor sammenhengen <math> [\hat{x},\hat{p}] = i\hbar </math> hvor '''kommutatoren''' av to operatorer er definert som <math>  [\hat{a} , \hat{b}] = \hat{a} \hat{b} - \hat{b} \hat{a}. </math>

Med en ekstra koordinat ''y&thinsp;'' vil nå samme betraktning gi <math> [\hat{y},\hat{p}_x] =  [\hat{x},\hat{p}_y] = 0.</math> Da rekkefølgen av to partielle derivasjoner ''&part;<sub>x</sub>'' = ''&part;&thinsp;''/''&part;x&thinsp;'' og ''&part;<sub>y</sub>'' = ''&part;&thinsp;''/''&part;y&thinsp;'' fritt kan byttes om, vil  på lignende vis kommutatoren <math> [\hat{p}_x,\hat{p}_y] = 0. </math>  Avgjørende for all kvantisering er de ''kanoniske'' kommutatorene

: <math> [\hat{x}_a,\hat{p}_b] = i\hbar\,\delta_{ab} </math>

hvor [[Kronecker-delta]] på høyre side er null hvis indeksene er forskjellige og lik med én når de er like.<ref name = Bohm/>

Når partikkelens impuls er gitt ved virkningen av en operator, vil også dens [[dreieimpuls]] <math> \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math> beskrives av en vektoroperator med komponenter

: <math>\begin{align} \hat{L}_x &= -i\hbar (y\partial_z - z\partial_y), \;\; \hat{L}_y = -i\hbar (z\partial_x - x\partial_z) , \\ \hat{L}_z &= -i\hbar (x\partial_y - y\partial_x) .  \end{align} </math>

De kommuterer ikke seg imellom, men oppfyller den kanoniske kommutatoren

: <math> [\hat{L}_x,\hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z </math>

pluss de to andre som fremkommer ved syklisk ombytte av operatorene.
Egenverdiene til kun én av dem kan derfor bestemmes. Vanligvis velges den å være dreieimpulsen om ''z''-aksen. Ved direkte utregning finner man at  <math>  [\hat{L}_z,  \hat\mathbf{L}^2] = 0 </math> slik at også egenverdiene til den totale dreieimpulsen <math> \hat\mathbf{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 </math> kan finnes. Dette er helt i overensstemmelse med hva som ble funnet fra  Heisenbergs [[matrisemekanikk]] noen få måneder tidligere og leder til den nå vanlige [[Kvantisert dreieimpuls|kvantisering av dreieimpuls]].