Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

===Harmonisk kraft===

Når kraften varierer med frekvens ''&omega;'', kan bevegelsesligningen til oscillatoren skrives 

: <math> \ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2x = b \cos\omega t </math>

hvor konstanten ''b&thinsp;'' angir styrken av den drivende kraften. Den partikulære løsningen vil nå svinge med samme frekvens ''&omega;'', men med en ukjent [[amplitude]] ''a''. Den kan beregnes ved å beskrive den ytre kraften som den reelle delen av den komplekse kraften {{nowrap|''f''&thinsp;(''t&thinsp;'') {{=}} ''b&thinsp;e''<sup>-''i&omega;t''</sup>}}. Det betyr at den søkte løsningen har den tilsvarende formen 
[[Fil:Mplwp resonance zeta envelope.svg|thumb|360px|Amplituden til den drevne oscillatoren som funksjon av ''&omega;''/''&omega;''<sub>0</sub> der dempningen er uttrykt ved &zeta; = ''&gamma;''/''&omega;''<sub>0</sub>. ]]

: <math> z(t) = a e^{-i\omega t} </math>

hvor nå amplituden ''a&thinsp;'' i alminnelighet vil være kompleks. Det fysiske utslaget ''x''(''t''&thinsp;) er den reelle delen av denne komplekse funksjonen.

Når denne løsningsformen innsettes i differensialligningen, finnes amplituden som

: <math> a = {b\over \omega_0^2 - 2i\gamma\omega - \omega^2} </math>

Skriver man den komplekse nevneren i brøken  som

: <math>  \omega_0^2 - 2i\gamma\omega - \omega^2 = R e^{-i\theta} </math>

med [[Komplekst tall#Polarform|absoluttverdi]]  <math> R = \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2} </math> og fasevinkel gitt ved <math> \tan\theta = 2\gamma\omega/ (\omega_0^2 -\omega^2), </math> blir dermed utslaget til den tvungne svingningen

: <math> x(t) = {b\over R}\cos(\omega t - \theta) </math>
 
Nevneren ''R&thinsp;'' blir mindre og mindre desto nærmere den påtrykte frekvensen ''&omega;&thinsp;'' er oscillatorens grunnfrekvens ''&omega;''<sub>0</sub>. Det betyr at størrelsen til amplituden av utslaget øker til en maksimalverdi  ved [[resonans]] der {{nowrap|''&omega;''/''&omega;''<sub>0</sub> {{=}} 1}}.