Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Klassisk mekanikk som geometrisk optikk==

En ikke-relativistisk partikkel med masse ''m''  er beskrevet ved  Hamilton-funksjonen '' H = '''p'''<sup>2</sup>/2m  + V('''x''')&thinsp;''  når den
har potensiell energi ''V('''x''')&thinsp;''. Denne er uavhengig av tiden, og partikkelen har derfor en gitt energi ''E&thinsp;''.

For å finne bevegelsen til partikkelen har man nå flere fremgangsmåter å benytte. Man kunne forsøke å løse den tilsvarende Euler-Lagrange-ligningen eller de tilsvarende Hamilton-ligningene. Ekvivalent kan man benytte [[Maupertuis' virkningsprinsipp]] eller Hamilton-Jacobi-ligningen. Det er her interessant å sammenligne fremstillingen som følger fra disse to metodene.

===Stråler med partikler===

Maupertuis' virkning er gitt ved integralet

: <math> W = \int \mathbf{p}\cdot d\mathbf{r}  </math>

Da impulsen '''p''' = ''md''&thinsp;'''r'''/''dt'' og differensialet ''d'''r''' '' er parallelle vektorer, er derfor ''W = &int;&thinsp;pds'' hvor størrelsen av impulsen er gitt ved ''p<sup>2</sup> = 2m(E - V)'' og linjeelementet ''ds'' = |''d'''r'''&thinsp;''|. Dermed kan virkningen finnes fra integralet

: <math> W = \int\! ds \sqrt{2m(E - V(\mathbf{x}))} </math>

Den klassiske banen finnes så ved [[variasjonsregning]] basert på kravet at ''&delta;W'' = 0 ved å sammenligne alle baner med samme energi ''E''. Er banen kort nok, er løsningen den banen som har den minste virkningen.

Matematisk er denne beregningen lik med å finne banen til en lysstråle med utgangspunkt i [[Fermats prinsipp]] som gjelder i geometrisk optikk. Dette sier at lyset velger den banen som har kortest mulig optisk veilengde

: <math> L =  \int_A^B\! ds n(\mathbf{x}) </math>

Her er ''n'' = ''n''('''x''') [[brytningsindeks]]en til mediet lyser beveger seg gjennom. Er lyshastigheten i vakuum ''c<sub>0</sub>&thinsp;'', er den ''c = c<sub>0</sub>&thinsp;/n'' i mediet. Man kan derfor løse det mekaniske problemet ved å finne banen for lys i et medium med brytningsindeks

: <math> n(\mathbf{x}) \propto \sqrt{E - V(\mathbf{x})} </math>

Når man snakker om en lysstråle i geometrisk optikk,  spiller det i den forbindelsen ingen rolle om den ''virkelig'' består av lyspartikler eller lysbølger. Men fra [[eikonalapproksimasjon]]en vet man at bølgebeskrivelsen gir effektivt lysstråler når lyset har en bølglelengde som er mye kortere enn alle andre karakteristiske lengder i systemet. Da oppfører lyset seg som klassiske partikler.

===Fronter av bølger===
[[Fil:Moving-fronts.jpg|thumb|250px|right|Bevegelser av fronten for den prinsipale funksjonen  ''S(t)'' i konfigurasjonsrommet.]]
I stedet for å bruke [[Maupertuis' virkningsprinsipp]] for å finne bevegelsen til partiklene, kan man også bruke  Hamilton-Jacobi-ligningen. Den karakteristiske funksjonen ''W = W('''x''')'' vil da for den gitte Hamilton-funksjonen måtte oppfylle differensialligningen

: <math> {1\over 2m} (\boldsymbol{\nabla} W)^2 +  V(\mathbf{x}) = E    </math>

Ut fra løsningen vil da ligningen ''W('''x''')'' = ''konst'' beskrive en flate i rommet. Da impulsvektoren til partikkelen er gitt som '''p''' = '''&nabla;'''''W'', vil den overalt stå normalt på slike flater. Dette minner igjen sterkt om geometrisk optikk beskrevet i [[eikonalapproksimasjon]]en hvor bølgevektoren '''k''' står vinkelrett på faseflatene.

Da flatene ''W('''x''')'' = ''konst'' ligger fast i rommet, vil derimot flatene for den prinsipale funksjonen ''S = W - Et = konst'' bevege seg. I figuren er vist to nærliggende flater ''W = a'' og ''W = b&thinsp;''. Ved tiden ''t = 0'' sammenfaller de med de tilsvarende flatene ''S = a'' og ''S = b&thinsp;''. Men ved et litt senere tidspunkt ''dt'' har flaten  ''S = a''  flyttet seg til flaten ''W = a + Edt''. Likedan har flaten  ''S = b''  flyttet seg til flaten ''W = b + Edt''. Hastigheten som flatene beveger seg med, er ''u = ds/dt'' hvor ''ds'' er den lille distansen et punkt på flaten har beveget seg i denne korte tiden. I dette tidsrommet har ''S''-flaten beveget seg mellom to ''W''-flater med ''dW = Edt&thinsp;''. Men samtidig er også 
''dW'' = |'''&nabla;'''''W''&thinsp;|&thinsp;''ds'' da gradienten '''&nabla;'''''W'' står normalt på flaten. Dermed forflytter ''S''-flatene seg med en lokal hastighet

: <math> u  = {ds\over dt}  = {E\over |\boldsymbol{\nabla} W|} = {E\over p}  </math>

Aksepterer vi nå den optiske analogien, vil vi kunne kalle dette for en ''fasehastighet'' for flaten ''S = konst&thinsp;'' som opptrer her som en bølgefront. Den er i alminnelighet forskjellig fra hastigheten ''v = p/m'' til partikkelen.
===Eksempel===

En ball som blir kastet med hastighet ''v'' i en retning ''&theta;'' med ''x''-aksen, vil bevege seg i potensialet ''V'' = ''mgy'' når ''y''-aksen er rettet oppover og ''g'' er [[tyngdeakselerasjon]]en. Hamilton-Jacobi-ligningen for bevegelsen er da

: <math> \Big({\partial W\over\partial x}\Big)^2 + \Big({\partial W\over\partial y}\Big)^2 = 2m(E - mgy) </math>

Her er ''E'' = ''mv''<sup>&thinsp;2</sup>/2 ballens konstante energi og &part;''W''/&part;''x'' = ''mv''&thinsp;cos''&theta;'' dens bevarte impuls langs ''x''-aksen. Den fulle virkningsfunksjonen er dermed gitt ved integralet

: <math> W(x,y) = mvx\cos\theta + m \int_0^y\!dy\sqrt{v^2\sin^2\theta - 2gy} </math>

Impulsen langs ''y''-aksen er nå gitt som

: <math> p_y =  mv_y = {\partial W\over\partial y} = m \sqrt{v^2\sin^2\theta - 2gy} </math>

og blir null i en høyde ''y''<sub>''max''</sub> =  (''v''&thinsp;sin''&theta;'')<sup>2</sup>/2''g''&thinsp; der kvadratroten er null. I det punktet er ballens opprinnelige [[Kinetisk energi|kinetiske energi]] i ''y''-retningen gått over til ren [[potensiell energi]].

Ved å utføre integralet finner man virkningsfunksjonen som

: <math> W(x,y) = mvx\cos\theta - {m\over 3g}\big(v^2\sin^2\theta - 2gy\big)^{3/2} + {m\over 3g}(v\sin\theta)^3 </math>

Når den gis en serie med konstante verdier, vil den beskrive en serie krumme [[kurve]]r i ''xy''-planet. Ballen vil så bevege seg langs en [[parabel]] som overalt vil skjære disse kurvene [[vinkelrett]].