Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

==Statistisk mekanikk==

Bevegelsen til et kvantemekanisk system er styrt av [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|tidsutviklingsoperatoren]]

:  <math>  \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}  </math>

hvor <math> \hat{H} </math>  er dets Hamilton-operator. Det samme systemet i [[termisk likevekt]] ved temperatur ''T'', er beskrevet  ved [[Statistisk mekanikk|tetthetsoperatoren]]

:  <math>  \hat{\rho}(\beta) = e^{-\beta \hat{H}}  </math>

der nå ''&beta;'' = 1/''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' hvor [[Boltzmanns konstant]] ''k<sub>B</sub>&thinsp;'' inngår. Denne operatoren gjør det mulig å beregne alle [[Termodynamikk|termodynamiske]] egenskapene til systemet. På grunn av den formelle likheten melllom <math> \hat{U} </math> og <math> \hat{\rho} , </math> kan også matriseelement av tetthetsoperatoren beregnes ved hjelp av veiintegral. Dette vil da være en integrasjon over veier i «imaginær tid» på grunn av den matematiske sammenhengen

: <math> it \rightarrow \beta \hbar </math>

Men denne overgagen til maginær tid er ikke bare en praktisk fremgangsmåte i statistisk mekanikk, men er også av teoretisk betydning. Det skyldes at  mer generelle veiintegral er matematisk bedre definerte når de utføres etter en slik overgang.<ref name = Zee> A. Zee, ''Quantum Field Theory: In a Nutshell'', Princeton University Press, New Jersey (2003). ISBN 0-691-01019-6.</ref>

===Partisjonsfunksjon===

Mange av de termiske egenskapene til et system kan beregnes fra dets [[Partisjonsfunksjon (statistisk mekanikk)|partisjonsfunksjon]]. Den er definert ved  summen

: <math> Z(\beta) = \sum_n e^{-\beta E_n} </math>

der dets energier ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' følger fra egentilstandene til Hamilton-operatoren, <math> \hat{H} | n \rangle = E_n |n\rangle. </math> Derfor er

: <math> Z(\beta)  = \sum_n \langle n |e^ {-\beta\hat{H}} |n \rangle  \equiv \operatorname{Tr} \hat{\rho}(\beta ) </math>

når man innfører tetthetsoperatoren. Summen over egenverdiene har dermed gått over til en sum over alle diagonale [[Matrise|matriseelement]] av denne operatoren. Det utgjør dens [[Matrise#Matrisespor|matrisespor]] uttrykt ved operasjonen <math>  \operatorname{Tr}.  </math> Verdien av dette er uavhengig av hvilken basis matriseelementene blir beregnet i.

For en partikkel som beveger seg i én dimensjon med koordinat ''q'', kan dette matrisesporet beregnes i [[Kvantemekanikk#Posisjonsbasis|posisjonsbasis]] hvor tetthetsoperatoren er representert ved tetthetsmatrisen med element 

: <math>  \rho(q_b, q_a;\beta) = \langle q_b|e^ {-\beta\hat{H}} | q_a \rangle </math>

Dette matriseelementet er nå gitt ved propagatoren i imaginær tid som <math>  K(q_b, t_a - i\beta\hbar ; q_a, t_a). </math> Sporet av tetthetsmatrisen følger så ved én siste integrasjon over de diagonale elementene med ''q<sub>a</sub>'' = ''q<sub>b</sub>'', 

: <math> Z(\beta) = \int_{-\infty}^\infty\! dq\, \langle q |e^ {-\beta\hat{H}} | q \rangle </math>

Partisjonsfunksjonen til partikkelen er på denne måten omformet til et nytt veiintegral som beskriver alle mulige  bevegelser fra en posisjon tilbake til samme posisjonen i løpet av en viss, imaginær tid bestemt av systemets temperatur.

===Harmonisk oscilllator===

Veiintegralet til en harmonisk oscillator kan utføres eksakt da dens energi er kvadratisk både i hastighet og posisjon.  Det resulterer i at dens propagator ''K''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'';''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>'') kan utrykkes ved den klassiske virkningen. Etter å ha innført imaginær tid  {{nowrap|''i''(''t<sub>b</sub>'' - ''t<sub>a</sub>'') {{=}} ''&beta;ħ''&thinsp;}} i denne, tar den formen

: <math>  {i\over\hbar} S_{cl} [q]  \rightarrow - S_{cl}^E [q] =  - {m\omega\over 2\hbar\sinh\beta\hbar\omega}\big[(q_a^2 + q_b^2)\cosh\beta\hbar\omega - 2q_a q_b \big] </math>

da de [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjonene]] går over til de tilsvarende  [[hyperbolsk funksjon|hyperbolske funksjonene]]. Det samme gjelder for prefaktoren i veiintegralet som blir

: <math> F(t_b, t_a) \rightarrow  F^E (\beta) = \left({m\omega\over 2\pi \hbar\sinh\beta\hbar\omega} \right)^{1/2} </math>

Ved å benytte identitetene cosh&thinsp;2''x'' - 1 = 2&thinsp;sinh<sup>2</sup>''x&thinsp;'' og {{nowrap|sinh&thinsp;2''x'' {{=}}  2&thinsp;sinh''x''&thinsp;cosh''x'',}} følger partisjonsfunksjonen fra det reelle [[Gauss-integral]]et

: <math> \begin{align} Z(\beta) &= F^E (\beta)  \int_{-\infty}^\infty\! dq\,\exp\Big(- (m\omega\, q^2/\hbar) \tanh\beta\hbar\omega/2 \Big)\\ &=  {1\over 2\sinh\beta\hbar\omega/2} \end{align} </math>

Ved høy temperatur der ''&beta;ħ&omega;'' = ''ħ&omega;''/''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' &rarr; 0, går dette over til resultatet fra [[Boltzmann-fordeling#Harmonisk oscillator|klassisk, statistisk mekanikk]]. Den [[indre energi]]en er da ''U'' = ''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' i ovensstemmelse med [[ekvipartisjonsprinsipp]]et. Kvantemekanisk er nå denne energien derrimot

: <math> \begin{align} U &= - {\partial\over\partial\beta} \ln Z  =  {1\over 2}\hbar\omega \coth{1\over 2}\beta\hbar\omega \\
&=  {1\over 2}\hbar\omega  + {\hbar\omega\over e^{\beta\hbar\omega} - 1} \end{align}</math> 

Den første termen her er [[Kvantisert harmonisk oscillator#Nullpunktsenergi|nullpunktsenergien]] ''ħ&omega;''/2 til oscillatoren som den har når ''&beta;'' &rarr; &infin;, det vil si ved null grader. Det andre leddet fremkommer mer direkte ved å utføre summasjonen i partisjonsfunksjonen med bruk av energiene {{nowrap|''E<sub>n</sub>'' {{=}} ''ħ&omega;''(''n'' + 1/2)}} som følger fra [[Kvantisert harmonisk oscillator|kvantisering av oscillatoren]].<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>