Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

===Utvidete Dirac-matriser===

Den fundamentale antikommutatoren 

: <math> \{ \gamma_\mu, \gamma_\nu\} := \gamma_\mu \gamma_\nu  +  \gamma_\nu \gamma_\mu = 2\eta_{\mu\nu} </math>

mellom de elementære Dirac-matrisene betyr at deres kvadrat er enten +1 eller -1. I tillegg skifter produktet av to av dem fortegn ved at  faktorene ombyttes. Det betyr at man maksimalt kan multiplisere sammen fire forskjellige slike matriser. Dette spesielle produktet er

: <math> \gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =  i\gamma_0\gamma_x\gamma_y\gamma_z </math>

hvor ''i'' = &radic;-1 er tatt med for å gjøre denne matrisen [[Matrise#Kvadratiske matriser|selvadjungert]], <math> \gamma_5 = \gamma_5^\dagger.</math> I tillegg er da <math> \gamma_5\gamma_\mu +  \gamma_\mu\gamma_5 = 0 </math> og <math> \gamma_5^2 = 1.</math> Med den representasjonen av gammamatrisene som tidligere er brukt, er

: <math> \gamma_5 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>

Her inngår matriseelementene 1 som i virkeligheten er 2&times;2 [[Identitetsmatrise|enhetsmatriser]].

Matrisen <math> \gamma_5 </math> består av et produkt av fire elementære matriser og er et eksempel på en «utvidet Dirac-matrise». Alle har dimensjon 4&times;4 og det kan derfor maksimalt finnes 2&sdot;4<sup>2</sup> = 32 slike matriser da de kan inneholde komplekse element. Men den fundamentale antikommutatoren utgjør 4<sup>2</sup> = 16 reelle betingelser. Det finnes derfor i alt 32 - 16 = 16 utvidete Dirac-matriser.<ref name = PS/>

Enhetsmatrisen og <math> \gamma_5 </math> utgjør sammen med de fire elementære Dirac-matrisene til sammen 2 + 4 = 6 matriser. Mens 
<math> \gamma_5 </math> består av et produkt med fire elementære matriser, kan man lage fire forskjellige produkt med tre  elementære matriser. Tilsammen kan disse fire matrisene grupperes som <math> \gamma_5\gamma_\mu. </math> 

Produktet av to elementære matriser kan splittes opp som 

: <math> \gamma_\mu \gamma_\nu = {1\over 2}(\gamma_\mu \gamma_\nu - \gamma_\nu \gamma_\mu) + {1\over 2}(\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu) </math>

Her er det siste leddet proporsjonalt med en 4&times;4 enhetsmatrise, mens det første kan uttrykkes ved den antisymmetriske kombinasjonen

: <math> \sigma_{\mu\nu} = {i\over 2} [\gamma_\mu, \gamma_\nu] :=  {i\over 2} (\gamma_\mu\gamma_\nu - \gamma_\nu\gamma_\mu)</math>

Det er i alt 4&sdot;3/2 = 6 slike matriser. Dermed har man funnet alle de 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 utvidete Dirac-matrisene.