Redigerer Bohr-Sommerfeld-kvantisering (avsnitt)

==WKB-approksimasjon==
[[Fil:Potential energy well.svg|thumb|360px|right|Typisk [[potensialbrønn]] som kan gi bundne tilstander av en partikkel. For bruk av [[WKB-approksimasjon]]en er ''x''<sub>1</sub> og ''x''<sub>2</sub>  vendepunkt for tilstander med energi ''E''.]]

Ved etableringen av moderne [[kvantemekanikk]] fikk man en bedre forståelse av den halvklassiske kvantiseringen til Bohr og Sommerfeld. Bevegelsen av en partikkel er da beskrevet ved [[Schrödinger-ligning]]en. Når den bare kan bevege seg i en dimensjon, kan man finne en tilnærmet løsning av denne ved det som nå kalles [[WKB-approksimasjon]]en.<ref name = BJ/> 

Hvis partikkelen har en energi ''E'' og beveger seg i et potensial ''V''(''x''), vil den da være beskrevet i et område hvor {{nowrap|''E''  > ''V''(''x'')}} ved en bølgefunksjonen ''&psi;''(''x'') som tilnærmet antar en av formene

: <math> \psi(x) = {C\over\sqrt{p(x)}}e^{\pm {i\over\hbar}\int_{x_0}^x\! dx' p(x')}  </math>

hvor ''C'' er en ukjent konstant,  ''x''<sub>&thinsp;0</sub> er en vilkårlig posisjon og

: <math> p(x) = \sqrt{2m(E - V(x)} </math>

kan betraktes som den klassiske [[bevegelsesmengde|impulsen]] til partikkelen. Denne varierer derfor med partikkelens posisjon. Punkt i potensialet der ''p'' = 0, kalles «vendepunkt» som partikkelen klassisk ikke kan bevege seg gjennom. De to  approksimative løsningene representerer  bølger som går til venstre og mot høyre i potensialet der {{nowrap|''E'' > ''V''(''x'')}}.

I en [[potensialbrønn]] vil der være to slike vendepunkt. Klassisk vil partikkelen bevege seg mot et av disse hvor den blir reflektert tilbake. Den vil deretter reflekteres på samme måte fra det andre vendepunktet og fortsette slik i en bunden tilstand. Kvantemekanisk vil det tilsvare at de to [[komplekst tall|komplekse]] bølgene vil kombineres til en stående, [[reelt tall|reell]] bølge. Kalles vendepunktene for ''a'' og ''b'', vil denne da i WKB-approksimasjonen kunne skrives som

: <math> \psi(x) = {C\over\sqrt{p(x)}}\cos\Big({1\over\hbar}\!\int_a^x \! dx' p(x') \Big) </math>

eller

: <math> \psi(x) = {C'\over\sqrt{p(x)}}\cos\Big({1\over\hbar}\!\int_x^b \! dx' p(x') \Big) </math>

hvor ''C'&thinsp;'' er en annen, vilkårlig konstant. Men disse to uttrykkene må beskrive den samme bølgefunksjon i dette området mellom vendepunktene ''a'' og ''b''. At det er mulig, kan man se ved å skrive den første integrasjonen som

: <math> \psi(x) = \int_a^x \! dx' p(x') = \int_a^b \! dx' p(x') + \int_b^x \! dx' p(x') </math>

og benytte at den [[trigonometrisk identitet|trigonometriske identiteten]]

: <math> \cos(-\theta + n\pi) = (-1)^n\cos\theta </math>

der ''n'' er et positivt [[heltall]]. Det er oppfylt når konstantene i de to bølgefunksjonene er relatert ved ''C'&thinsp;'' = (-1)<sup>''n''</sup>''C&thinsp;'' sammen med kravet 

: <math>  \int_a^b \! dx' p(x') = n\pi \hbar</math>

som definerer Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen.

Nær vendepunktene der ''p'' blir veldig liten, kan denne WKB-approksimasjonen gjøres mer nøyaktig. Et resultat av denne forbedringen er at heltall ''n'' kan få et tillegg på 1/4 eller 1/2 avhengig av rask overgangen er av potensialet inn i det klassisk forbudte området der {{nowrap|''E'' < ''V''(''x'')}}. Men generelt er approksimasjon mest nøyaktig for store verdier av dette kvantetallet slik at disse forbedringene har for det meste liten praktisk betydning.<ref name = Griffiths/>