Redigerer Ugyldige bevis (avsnitt)

== Å dele med null ==
=== Bevis for at 2 = 1 ===
La ''a'' og ''b'' være forskjellige fra null
:<math>a = b \,</math>
Multipliser med ''a''
:<math>a^2 = ab \,</math>
Trekk fra <math>b^2 \,</math>
:<math>a^2 - b^2 = ab - b^2 \,</math>
Faktotiser begge sidene
:<math>(a - b)(a + b) = b(a - b) \,</math>
Divider med <math>(a - b) \,</math>
:<math>a + b = b \,</math>
Legg merke til og sett inn at <math>a = b \,</math>
:<math>b + b = b \,</math>
Kombiner like ledd på venstresiden
:<math>2b = b \,</math>
Divider med ''b''
:<math>2 = 1 \,</math>

''Q.E.D.''<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 1'', 6. utgave, Teubner 1989, ISBN 978-3835101319, side 51 (Tysk).</ref>

Feilslutningen ligger i linje 5: overgangen fra linje 4 til 5 involverer at man deler på <math>(a - b)</math>, hvilket er null siden ''a'' er ekvivalent med ''b''. Ettersom å dele med null er udefinert er argumentet ugyldig. Ved å utlede at den eneste mulige løsningen av linjene 5, 6 og 7 er <math>a = b = 0</math>, er feilen igjen åpenbar i linje 7 hvor man dividerer med b (0) for å komme frem til feilslutningen. Et lignende ugyldig bevis ville være å si at <math>2 (0) = 1 (0)</math> (hvilket er sant) og med å dele på null kommer man frem til at <math>  2=1 </math>.

===Bevis for at alle tall er lik 1===
Anta at vi har følgende system av lineære ligninger:
:<math>\left\{
\begin{matrix}
c_1x_1 + c_1x_2 + \cdots + c_1x_n = c_1\\
c_2x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_2x_n = c_2\\
\vdots \\
c_nx_1 + c_nx_2 + \cdots + c_nx_n = c_n
\end{matrix}\right.
</math>
Ved å dividere den første ligningen med <math>c_1</math>, får vi <math>x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1.</math> La oss nå prøve å løse systemet med ''Cramers regel'':

:<math>\begin{bmatrix}
c_1 & c_1 & c_1 & \dots\\
c_2 & c_2 & c_2 & \dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\\
c_n & c_n & c_n & \dots
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
c_1\\
c_2\\
\vdots\\
c_n
\end{bmatrix}</math>

Da hver kolonne i koeffisientmatrisen er lik den resulterende kolonnevektoren har vi 
:<math>A_i = A \implies |A_i| = |A| \implies {|A_i| \over |A|} = 1 = x_i</math>

for alle <math>i</math>. Setter vi dette tilbake inn i <math>x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1</math>, får vi
:<math>\sum_{i=1}^n i = 1</math>.

''Q.E.D.''

Beviset er ugyldig fordi ''Cramers regel'' bare kan anvendes på systemer som har en unik løsning. I dette tilfellet derimot er alle ligningene åpenbart ekvivalente og utilstrekkelig for å gi en unik løsning. Feiltakelsen skjer når vi dividerer <math>|A_i|</math> med <math>|A|</math>, ettersom begge er null.

=== Bevis for at alle tall er like ===
Å multiplisere et vilkårlig tall med 0 gir svaret null.
:<math>2\times0 = 0 \,.</math>

Omskriving av ligningen gir
:<math>2 = {0 \over 0} \,.</math>

På samme måte har vi
:<math>1\times0 = 0 \,,</math>

:<math>1 = {0 \over 0} \,,</math>

og fordi
:<math>{0 \over 0} = {0 \over 0} \,,</math>
innsetting gir nå
:<math>2 = 1 \,.</math>

Samme metode kan brukes til å vise at ethvert tall er likt ethvert annet tall og dermed er alle tall like.

''Q.E.D.''

Feilslutningen ligger i antagelsen om at divisjon med null gir en veldefinert verdi.