Redigerer Termodynamikk (avsnitt)

===Matematiske operasjoner===
Mer generelt kan man tenke seg et systemet beskrevet ved tre variable ''x'', ''y'' og ''z''. De er forbundet ved en ligning {{nowrap|''f''(''x,y,z'') {{=}} 0}}. Hvis man tenker seg at denne kan løses slik at man finner ''z'' = ''z''(''x,y''), da blir differensialet

: <math> dz = \left({\partial z\over\partial x}\right)_y dx + \left({\partial z\over\partial y}\right)_x dy </math>

Det betyr at når ''z&thinsp;'' er konstant slik at ''dz'' = 0, blir

: <math> \left[ {dy\over dx}\right]_{z = const} \equiv \left({\partial y\over\partial x}\right)_z  = - \left({\partial z\over\partial x}\right)_y \left({\partial y\over\partial z}\right)_x </math>

etter å ha benyttet at 

: <math>  \left({\partial z\over\partial y}\right)^{-1}_x =  \left({\partial y\over\partial z}\right)_x </math>

som følger fra definisjonen av partiell derivasjon. Dermed har man den spesielle sammenhengen

: <math>  \left({\partial x\over\partial y}\right)_z \left({\partial y\over\partial z}\right)_x \left({\partial z\over\partial x}\right)_y = - 1 </math>

som lett kan huskes når den skrives på dennne sykliske måten.<ref name = Zemansky/>

En funksjon ''F''(''x,y'') er implisitt også en funksjon av ''z&thinsp;'' da denne variable er knyttet til ''x&thinsp;'' og ''y''. Hvis man for eksempel holder ''x&thinsp;'' kontant, er den deriverte med hensyn på ''z&thinsp;'' derfor

: <math>\begin{align} \left({\partial F\over\partial z}\right)_x &= {\partial\over\partial z} F(x, y(z,x) |_{x =konst} \\ &= \left({\partial F\over\partial y}\right)_x\left({\partial y\over\partial z}\right)_x \end{align} </math>

når man benytter [[Derivasjon#Derivasjonsregler|kjerneregelen]] for derivasjon. Den tilsvarende deriverte kan finnes på samme vis når ''y&thinsp;'' holdes kontant. På lignende måte er derfor også

: <math> \left({\partial F\over\partial x}\right)_z =  \left({\partial F\over\partial x}\right)_y + \left({\partial F\over\partial y}\right)_x \left({\partial y\over\partial x}\right)_z </math>

når man benytter regelen for [[partiell derivasjon]] av en funksjon med flere variable.