Redigerer Spredningstverrsnitt (avsnitt)

==Kvantemekanisk spredning==

På samme måte som i klassisk mekanikk kan vekselvirkningen mellom to ikke-relativistiske partikler i [[kvantemekanikk]]en beskrives som et [[tolegemeproblem]] og dermed reduseres til å omhandle én partikkel som påvirkes av den andre gjennom et [[potensiell energi|statisk potensial]]. Hvis den innkommende partikkelen med masse ''m&thinsp;'' har [[kinetisk energi]] ''E'' = ''p''<sup>2</sup>/2''m'', vil dens [[Bevegelsesmengde|impuls]] skrives som ''p'' = ''ħ''&thinsp;''k'' hvor ''k'' er [[bølgetall]]et i [[Schrödinger-ligning|Schrödingers bølgefunksjon]] som beskriver den når ''ħ'' er den reduserte [[Plancks konstant]].

Når denne partikkelen beveger seg langs ''z''-aksen med bølgevektor '''k''', kan den beskrives ved den [[Bølge#Plane bølger|plane bølgefunksjonen]] ''e''<sup>''ikz''</sup>. Etter spredningen vil den bevege seg i retningen  (''&theta;,&phi;'') i forhold til ''z''-aksen. Det er tilfelle når spredningspotensialet er rotasjonssymmetrisk.  Langt borte fra dette potensialet vil man dermed ha en utgående [[Helmholtz-ligning#Kulebølger|kulebølge]] med en viss amplitude ''f''&thinsp;(''&theta;&thinsp;''). Spredningsprosessen kan derfor i dette området sammenfattes i den kombinerte bølgefunksjonen

: <math> \psi(\mathbf{r}) =  e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  + f(\theta,\phi) {e^{ikr}\over r} </math>

da '''k'''&sdot;'''r''' = ''kz'' = ''kr''&thinsp;cos''&theta;'' i det første leddet. Det differensielle spredningstverrsnittet for kollisjonen er nå gitt som

: <math> {d\sigma\over d\Omega} = |f(\theta,\phi)|^2 </math>

der spredningsamplituden ''f''&thinsp;(''&theta;,&phi;'') har samme dimensjon som en lengde. Den kan i prinsippet beregnes ved å løse [[Schrödinger-ligning]]en.<ref name = Shankar> R. Shankar, ''Principles of Quantum Mechanics'', Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8.</ref>

===Born-approksimasjon===

Når potensialet som virker mellom de kolliderende partiklene er beskrevet ved funksjonen ''V''('''r'''), vil den spredte bølgen være en løsning av den stasjonære Schrödinger-ligningen  som tar formen til en inhomogen [[Helmholtz-ligning]],

: <math> (\nabla^2 +  k^2) \psi(\mathbf{r}) = {2m\over\hbar^2} V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})  </math>

Den har en generell løsning som er gitt ved

: <math>  \psi(\mathbf{r})  = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}  + {2m\over\hbar^2} \int \! d^3 r' G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) V(\mathbf{r'})\psi(\mathbf{r'})</math>

hvor den plane bølgen i det første leddet er en løsning av den homogene ligningen og ''G''('''r''','''r'''') er dens [[Green-funksjon]]. Denne er definert ved ligningen

: <math> (\nabla^2 +  k^2) G(\mathbf{r},\mathbf{r'})  = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) </math>

som har løsningen

: <math> G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) =  - \frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}} {4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|}  \longrightarrow - {e^{ikr}\over 4\pi r} e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{r'}} </math>

hvor det siste uttrykket gjelder for store avstander fra sprederen der ''r'' &gg; ''r'&thinsp;'' og '''k'&thinsp;''' = ''k''&thinsp;'''r'''/''r'' kan betraktes som bølgevektoren for den spredte  partikkelen. Det generelle resultatet for spredningsamplituden kan derfor leses ut fra det siste leddet i den formelle løsningen. Her kan man for ''&psi;''('''r'''') sette inn det tilsvarende uttrykket og kan på den måten komme frem til en rekke for spredningsamplituden hvor de første leddene  representerer én enkel spredning på potensialet, to påfølgende spredninger og så videre.<ref name = Griffiths-QM> D. J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.</ref>
 
Den laveste [[Vekselvirkningsbildet#Laveste Born-approksimasjon|Born-approksimasjon]]en betyr å beholde bare det første leddet i  rekkeutviklingen. Det tilsvarer første ordens [[Kvantemekanisk perturbasjonsteori#Potensialspredning|perturbasjonsteori]] og gir det eksplisitte resultatet

: <math> f(\theta,\phi) = -  {m\over 2\pi\hbar^2} \int \!d^3 r' e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k'})\cdot\mathbf{r'}}V(\mathbf{r'}) </math>

for spredningsamplituden. Den er gitt som en [[Fourier-transformasjon]] av spredningspotensialet.

===Coulomb-spredning===

Den enkleste og viktigste anvendelse av første Born-approksimasjon er for [[Rutherford-spredning]] der det spredende potensial er Coulomb-potensialet

:  <math> V(\mathbf{r}) = - {Ze^2\over  4\pi\varepsilon_0 r } </math>

som virker mellom to partikler med elektrisk ladninger -''e'' og ''Ze''. De to bølgevektorene '''k''' og '''k'&thinsp;''' har samme lengde ''k'' og danner vinkelen ''&theta;&thinsp;'' med hverandre. Derfor har vektoren {{nowrap|'''Q''' {{=}} '''k''' - '''k'&thinsp;'''}} lengden

: <math> Q = 2k\sin{\theta\over 2} </math>

hvor bølgetallet ''k'' er gitt ved energien ''E'' = ''ħ''<sup>2</sup>''k''<sup>2</sup>/2''m'' til den innkommende partikkelen.<ref name = Shankar/>

Fourier-transformasjonen av Coulomb-potensialet kan finnes fra det mer generelle integralet

: <math> \int\!d^3r\, e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} {e^{-\kappa r}\over 4\pi r}\; = {1\over Q^2 + \kappa^2} </math>

ved å ta grensen ''&kappa;'' &rarr; 0. Dette er ikke avhengig  av den asimutale vinkelen ''&phi;'' da potensialet er rotasjonssymmetrisk. Spredningsamplituden blir dermed

: <math> f(\theta) = {1\over  4\pi\varepsilon_0} {Ze^2\over 4E\sin^2(\theta/2)} </math>,

og det differensielle tverrsnittet for Coulomb-spredning er

: <math> {d\sigma\over d\Omega} = k_e^2 {Z^2e^4\over 16E^2 \sin^4(\theta/2)} </math>

hvor ''k<sub>e</sub>'' = 1/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub> er [[Coulombs konstant|Coulomb-konstanten]] i [[SI-systemet]]. Selv om denne beregningen er basert på kvantemekanikk, er Plancks konstant fallt ut av resultatet som er i nøyaktig overensstemmelse med hva den klassiske beregningen gir. Dette er spesielt for Coulomb-potensialet hvor høyere ledd i Born-approksimasjonen ville ha resultert i en kompleks fasefaktor i spredningsamplituden som ikke ville ha forandret virkningstverrsnittet.<ref name = Griffiths-QM/>