Redigerer Slutsky-likningen (avsnitt)

=== Utledning ===
Slutsky-likningen kan anvendes på ethvert gode eller anti-gode (altså ubehag) som konsumenten har en eller annen form for verdsettelse av, også verdsettelsen av arbeid og fritid. Vi kan modellere det ved å utvide preferansefunksjonen til <math>U(\vec{c}, L)</math>, der <math>L</math> er antall timer fritid. Vi antar funksjonen har egenskapene <math>{\partial U\over\partial L}>0 \qquad 
{\partial^2 U\over\partial L^2}<0 \qquad 
 </math>, altså at konsumenten får høyere nytte av å ta ut en time fritid ekstra, men at nytten er avtagende.

Vi definerer så relasjonen <math>T=L+N</math>, som sier at total tid, <math>T</math>, kan fordeles på enten arbeid, <math>N</math>, eller fritid, <math>L</math>. Total tid kan sees på som antall våkne timer i døgnet, uken eller hvilken som helst måleenhet man finner passende. Timelønnen konsumenten får er <math>\omega</math>. Følgelig kan vi skrive hans budsjettbetingelse som <math>p_1c_1+p_2c_2+...+p_nc_n=\omega N\Rightarrow \vec{p} \ \vec{c}=\omega (T-L)
\quad \Rightarrow \vec{p} \ \vec{c}+\omega L=\omega T</math>. Det er nå åpenbart at tiden for konsumenten er som en ressurs med verdi <math>\omega</math> per time. Ettersom konsumenten "eier" <math>T</math> timer, er inntekten (eller mer presist: formuen) hans <math>\omega T</math>. Denne kan han velge hvordan han vil disponere. Enten kan han "kjøpe" seg fritid, eller så kan han kjøpe seg konsum, gjennom å bruke tiden på å jobbe, få lønn og deretter kjøpe konsum.   

Vi definerer nå denne formuen som <math>\omega T \equiv\Iota </math>. Fordelen med det, er at vi får et tydelig skille mellom <math>\omega  </math> som faktor i konsumentens inntekt, og <math>\omega  </math> som prisen på fritid. Konsumentens problem er altså hvordan han skal fordele <math>\Iota </math> på konsumgodene og fritid slik at han får høyest mulig nytte. Det gir maksimeringsproblemet:  

<math>max_{\vec{c},L} \ \biggl( U(\vec{c}, L) \ | \ \vec{p} \ \vec{c}+\omega L= \Iota \biggr)  </math>

De tilhørende førsteordensbetingelsene er:

<math>{{\partial U\over\partial c_i}\over {\partial U\over\partial c_j}}={p_i\over p_j } \quad {{{\partial U\over\partial L}}\over {\partial U\over\partial c_i}}={ \omega \over p_i } </math> 

Førsteordensbetingelsene sammen med budsjettbetingelsen gir de ordinære etterspørselsfunksjonene for konsum,<math>D_i(\vec{p},\omega, \Iota)  </math>, og etterspørselsfunksjonen for fritid, <math>D_L(\vec{p},\omega, \Iota)  </math>. Bemerk at argumentet <math>\omega  </math> betegner utelukkende prisen på fritid. <math>\omega  </math> som faktor i inntekten, inngår i argumentet <math>\Iota  </math>. Som i utledningene over, kan vi skrive de kompenserte etterspørselsfunksjonene for konsum som <math>H_i(\vec{p},\omega, u)  </math>. Og den kompensere etterspørselsfunksjonen for fritid kan naturligvis skrives som <math>H_L(\vec{p},\omega, u)  </math>. Tilbudsfunksjonen for arbeid blir da <math>N(\vec{p},\omega, \Iota)=T-L(\vec{p},\omega, \Iota)  </math>. 

Vi har nå at: <math>{d D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over d\omega}={\partial D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \omega}+
{\partial D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \Iota} \underbrace {{d \Iota \over d\omega}}_{T}  </math>

Hvorpå vi vet fra utledningen av Slutsky-likningen at: <math>{\partial D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \omega}={\partial H_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \omega}
-L^* \ {\partial D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \Iota}  </math>

Dermed kan vi skrive: <math>(5) \ {d D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over d\omega}={\partial H_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \omega}+\underbrace{N^*}_{T-L}
{\partial D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \Iota}   </math>

Og vi har dermed at effekten på arbeidstilbudet er:

<math>(6) \ {d N(\vec{p},\omega, \Iota) \over d\omega}=-{\partial D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \omega}=-{\partial H_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \omega}-N^*
{\partial D_L(\vec{p},\omega, \Iota) \over \partial \Iota}   </math>