Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

== Desargues' teorem ==
[[Fil:Desargues_theorem_ter.svg|thumb|300px|Desargues' teorem sier at når linjene ''AA' '', ''BB'&thinsp;'' og ''CC'&thinsp;'' går gjennom et felles punkt ''S'', så vil skjæringspunktet ''R'' mellom linjene ''AB'' og ''A'B'&thinsp;'', skjæringspunktet ''P'' mellom ''BC'' og ''B'C'&thinsp;'' samt skjæringspunktet ''Q'' mellom ''CA'' og ''C'A'&thinsp;'' ligge på en felles linje ''s''.]]
I det projektive planet er [[Desargues' teorem]] av grunnleggende betydning. Den sier at når linjer gjennom tilsvarende hjørner i to trekanter går gjennom et punkt, vil de tilsvarende sidene i trekantene skjære hverandre i punkt som ligger på en linje. Man sier at trekantene ligger i et perspektiv med et ''senter'' hvor linjene gjennom hjørnene møtes og en ''akse'' hvor skjæringspunktene mellom sidene ligger.

Teoremet kan bevises på mange forskjellige måter, avhengig av det aksiomatiske grunnlaget. Mest direkte følger det fra en formulering basert på bruk av reelle, homogene koordinater. Hvis den en trekanten er gitt ved punktene ''A'', ''B'' og ''C'', mens den andre er gitt ved ''A'&thinsp;'', ''B'&thinsp;'' og ''C'&thinsp;'', antas de tre linjene ''AA' '', ''BB'&thinsp;'' og ''CC'&thinsp;'' å gå gjennom et felles punkt ''S''. På disse tre linjer kan man nå velge koordinater slik at man kan skrive {{nowrap|''S {{=}} A + A'&thinsp;'',}} {{nowrap|''S {{=}} B + B'&thinsp;''}} og {{nowrap|''S {{=}} C + C'&thinsp;''.}} Fra de to første uttrykkene følger at {{nowrap|''A - B {{=}} B' - A'&thinsp;''.}} Nå er ''A - B'' et punkt på linjen gjennom hjørnene ''A'' og ''B'' på samme måte som  ''B' - A'&thinsp;'' er et punkt på linjen gjennom hjørnene ''A'&thinsp;'' og ''B'&thinsp;''. Dette felles punktet må derfor være skjæringspunktet ''R&thinsp;'' mellom linjene, det vil si {{nowrap|''R {{=}} A - B''.}} På samme måte er skjæringspunktet mellom linjene ''BC&thinsp;'' og ''B'C'&thinsp;'' gitt som {{nowrap|''P {{=}} B - C'',}} mens skjæringspunktet mellom linjene ''CA&thinsp;'' og ''C'A'&thinsp;'' er {{nowrap|''Q {{=}} C - A''.}} Men koordinatene til disse tre skjæringspunktene sees nå å oppfylle relasjonen {{nowrap|''P + Q + R {{=}} 0&thinsp;''}} som betyr at de er lineært avhengige slik at de tre punktene ligger på en og samme linje.

I denne formuleringen av beviset for Desargues' setning er den avgjørende antagelsen at man kan konkludere at {{nowrap|''A - B {{=}} B' - A'&thinsp;''}} fra {{nowrap|''A + A' {{=}} B + B'&thinsp;''.}} Det betyr at den [[kropp (matematikk)|tallkroppen]] koordinatene tilhører, må være [[kropp (matematikk)|assosiativ]] som for de reelle tallene. Hvis ikke, gjelder ikke lenger Desargues' setning.