Redigerer Potensiell energi (avsnitt)

==Elektromagnetisme==

Potensiell energi for to  partikler med elektriske ladninger ''q''<sub>1</sub> og ''q''<sub>2</sub> er bestemt ved [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] som virker mellom dem. Er avstanden mellom dem ''r'', har den størrelsen  {{nowrap|''F {{=}} kq''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>/''r''<sup>&thinsp;2</sup>&thinsp;}} hvor konstanten ''k'' er  [[Coulombs konstant]] og er avhengig av hva slags enheter som benyttes. Idag er [[SI|SI-systemet]] det vanlige med verdien {{nowrap|''k''<sup>&thinsp;-1</sup> {{=}} 4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>&thinsp;}} hvor konstanten ''&epsilon;''<sub>0</sub> er [[permittivitet]]en til [[vakuum]] når ladningene befinner seg i det tomme rom. Befinner de seg i et medium, vil den ha en annen verdi.

Denne kraften virker langs forbindelseslinjen mellom de to partiklene og er derfor en konservativ kraft. Den kan derfor skrives som en derivert på måten {{nowrap|''F {{=}} - dV/dr''}}&thinsp; hvor den potensielle energien {{nowrap|''U {{=}} kq''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>/''r''.}} Denne kan skrives som {{nowrap|''U {{=}} q''<sub>1</sub>''V''<sub>2</sub>&thinsp;}} ved å innføre det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] {{nowrap|''V''<sub>2</sub> {{=}} ''kq''<sub>2</sub>/''r''&thinsp;}} som skyldes den andre partikkelen. Alternativt kan man også skrive den som  {{nowrap|''U {{=}} q''<sub>2</sub>''V''<sub>1</sub>&thinsp;}} hvor nå {{nowrap|''V''<sub>1</sub> {{=}} ''kq''<sub>1</sub>/''r''&thinsp;}} er potensialet som skyldes den første partikkelen.<ref name = Serway/>

Siden Coulomb-kraften har samme matematiske form som gravitasjonskraften, vil også den potensielle energien ha mange likhetspunkter. Men en viktig forskjell er at Coulomb-kraften bare gjelder for ladninger i ro eller som beveger seg langsomt. Hvis ikke det er tilfellet, vil også [[magnetfelt|magnetiske krefter]] opptre mellom ladningene og komme i tillegg til de elektriske kreftene.<ref name = Griffiths/>

===Elektrostatikk===
[[Fil:Denver Lightning.jpg|thumb|280px|Oppbygging av elektrisk, potensiell energi i atmosfæren fører til [[lyn]], her i [[Denver]], USA.]]
Den potensielle energien til et system av [[elektrisitet|elektrisk]] ladete partikler som er i ro, kan beregnes ved de [[elektrostatikk|elektrostatiske lovene]]. De er en direkte konsekvens av Coulombs lov. Betrakter man en partikkel med ladning ''q'' som befinner seg i et [[elektrisk potensial]] ''U''('''r'''), har den per definisjon en potensiell energi

: <math> U(\mathbf{r}) = qV(\mathbf{r}) </math>

Hvis potensialet skyldes en ladning en ladning ''Q'' i punktet med posisjonsvektor '''R''', har det den vanlige Coulomb-formen

: <math> V(\mathbf{r}) = {Q\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{R}|} </math>

Kraften som virker på ladningen ''q'', er gitt ved '''F''' = -'''&nabla;'''''U''. Den kan skrives som {{nowrap|'''F''' {{=}} ''q''&thinsp;'''E'''&thinsp;}} hvor  {{nowrap|'''E''' {{=}} -'''&nabla;'''''V''&thinsp;}} er det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] fra ladning ''Q''.

Befinner flere partikler seg i dette samme potensialet, vil deres potensielle energi være summen av slike bidrag for hver av partiklene,

: <math> U_0(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2}, \ldots) = \sum_a q_a V(\mathbf{r_a}) = {q_1Q\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_1} - \mathbf{R}|} + {q_2Q\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_2} - \mathbf{R}|} + \cdots </math>

Men her kommer i tillegg den potensielle energien ''U''<sub>1</sub>&thinsp; som skyldes Coulomb-kreftene mellom ladningene ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub> etc. Den er på samme måte gitt ved summen

: <math> U_1(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2}, \ldots) = \sum_{a < b} {q_aq_b\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_a} - \mathbf{r_b}|}  = {q_1q_2\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|} + {q_1q_3\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}|} + {q_2q_3\over 4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}|} + \cdots  </math>

Den totale, potensielle energien for denne samlingen av elektrisk ladete partikler er derfor ''U'' =  ''U''<sub>0</sub> +  ''U''<sub>1</sub>. Et vanlig eksempel hvor dette resultatet er viktig, er innen [[atomfysikk]]en hvor den brukes til å beregne energinivåene  til et atom ved bruk av [[kvantemekanikk]].<ref name="Brehm">J.J. Brehm and W.J. Mullen, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref>

===Elektrisk dipol===

Hvis man beregner det elektriske potensialet langt borte fra en samling av ladninger, et det med god tilnærmelse gitt ved Coulomb-potensialet fra en enkel ladning som er nettoladningen til alle ladningene. I det spesielle tilfellet at denne er nøyaktig lik null, vil det derfor ikke finnes noe Coulomb-potensial fra denne samlingen av ladninger. Det resulterende potensialet vil i stedet være mye svakere og kalles for et «multipolpotensial». Det kan regnes nøyaktig ut ved å summere delpotensialene fra hver ladning på vanlig måte.

Et viktig eksempel er den potensielle energien til en elektrisk [[dipol]] som befinner seg i det elektriske feltet fra andre ladninger. En slik dipol består av to motsatte ladninger {{nowrap|''q''<sub>1</sub> {{=}} - ''q''<sub>2</sub>}} = ''q''&thinsp; som er separert med vektoren {{nowrap|'''d''' {{=}} '''r'''<sub>1</sub> - '''r'''<sub>2</sub>&thinsp;}}. Deres potensielle energi er da

: <math> U = q_1V(\mathbf{r}_1) + q_2V(\mathbf{r}_2)  = q(V(\mathbf{r}) - V(\mathbf{r} - \mathbf{d})) </math>

hvor '''r'''<sub>1</sub> er erstattet med '''r'''. Dipolpotensialet kommer nå frem ved å anta at vektoren '''d''' er mye mindre enn '''r''' slik at potensialet ''V'' kan antas å være tilnærmet det samme på de to stedene ladningene befinner seg. Da er differansen {{nowrap|''V''('''r''') - ''V''('''r''' - '''d''') {{=}} '''d'''&sdot;'''&nabla;'''''V''}} = - '''d'''&sdot;'''E''' ved å innføre det elektriske feltet  {{nowrap|'''E''' {{=}} -'''&nabla;'''''V''&thinsp;}} på stedet ladningene befinner seg. Deres potensielle energi er dermed

: <math> U = - \mathbf{p}\cdot\mathbf{E} </math>

etter å ha definert et '''elektrisk dipolmoment''' for de to nærliggende ladningene som '''p''' = ''q''&thinsp;'''d'''. Denne potensielle energien varierer med avstanden som 1/''r''<sup>2</sup> og avtar dermed raskere enn Coulomb-energien til hver av ladningene som utgjør dipolen.<ref name = Griffiths/>

Innfører man vinkelen ''&theta;'' mellom dipolen og feltet, kan energien skrives som {{nowrap|''U'' {{=}} - ''pE''cos''&theta;''}}. Den er derfor minst når dipolen peker langs det elektriske feltet, og har en maksimal verdi +''pE'' når den rettet i motsatt retning.

===Magnetiske krefter===

En partikkel med elektrisk ladning ''q'' som beveger seg hastighet '''v''' i et [[magnetisk felt]] '''B''' er påvirket av  [[Lorentzkraft|Lorentz-kraften]]

:<math>\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}</math>

Den virker [[vinkelrett]] på partikkelens hastighet og kan derfor ikke utøve noe arbeid. Partikkelen vil dermed ikke ha noen magnetisk, potensiell energi. Lorentz-kraften forårsaker at hastigheten forandrer retning uten at størrelsen på denne forandres. Under sin bevegelse vil partikkelen derfor ha en konstant [[kinetisk energi]] forutsatt at ingen andre krefter virker på den.<ref name = YF/>

Denne spesielle egenskapen ved magnetiske krefter er forbundet med at det ikke finnes [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]] eller frie, magnetiske ladninger. Men likevel finnes det [[magnetisk dipol|magnetiske dipoler]]. Fra [[elektromagnetisme|elektromagnetisk teori]] fremkommer disse ved å la en [[elektrisk strøm]] ''I'' gå i en lukket sløyfe. Hvis denne omslutter et areal ''A'', vil strømsløyfen ha et [[magnetisk moment]] '''m''' = ''IA''&thinsp;'''n'''&thinsp; hvor enhetsvektoren '''n''' står vinkelrett på sløyfen i en retning gitt ved [[høyrehåndsregelen]] brukt sammen med strømretningen. En slik magnetisk dipol har da en potensiell energi

: <math> U = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math>

av samme matematiske form som for en elektrisk dipol.

En [[kompass]]nål er et praktisk eksempel på en magnetisk dipol. I et ytre magnetfelt vil den rette seg inn slik at den peker parallelt med feltet hvor dens potensielle energi er minst. Det magnetiske dipolmomentet til nålen skyldes [[elektron]]ene som beveger seg i [[atom]]ene som den består av. Hvert elektron har sitt eget moment som skyldes [[spinn]]et. I tillegg vil bevegelsen rundt atomkjernen i en lukket bane også gi et bidrag da dette tilsvarer en elektrisk strøm i en sløyfe.<ref name = Tipler/>

===Elektrodynamikk===

På tilsvarende måte som det elektriske feltet kan beregnes fra et [[skalar]]t, elektrisk potensial, kan også det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] beregnes fra et vektorpotensial. Dette betegnes vanligvis ved '''A'''('''r''',''t'') da det generelt varierer med posisjon '''r''' og tiden ''t''. Ved bruk av [[elektrodynamikk]] kan det beregnes for en samling av elektrisk ladete partikler med bestemte hastigheter på tilsvarende måte som Coulomb-potensialet ''U''('''r''',''t'') kan beregnes fra deres posisjoner. Magnetfeltet kan da beregnes ved å ta [[curl]] av vektorpotensialet slik  at {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&times;'''A'''.}}

En partikkel med ladning ''q'' og hastighet '''v''' som befinner seg i disse elektromagnetiske potensialene, vil da ha en potensiell energi

: <math> U = qV - q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A} </math>

som består av en elektrisk del og en magnetisk del. For et system bestående av mange partikler kan man herav beregne deres totale, elektromagnetiske vekselvirkningsenergi. I tillegg vil systemet også ha en [[felt]]energi som finnes i det elektriske og magnetiske feltet mellom partiklene. Den totale energien for systemet består av denne pluss den potensielle vekselvirkningsenergien pluss den kinetiske energien fra partiklenes bevegelse.<ref name = Brehm/>