Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

===Rotasjon av spinorer===

Den mest karakteristiske egenskap ved spinorer er at de forandrer fortegn under en rotasjon med 360&deg;. Dette er i motsetning til vanlige vektorer som alltid kommer tilbake til seg selv etter en slik rotasjon.

Størrelsen av en rotasjon kan beskrives ved en enhetsvektor '''n''' som angir retningen til rotasjonsaksen samt selve rotasjonsvinkelen ''&phi;&thinsp;'' om denne aksen. En kvantemekanisk tilstand <math> |\psi\rangle </math> vil da forandres som

: <math>   |\psi\rangle \rightarrow |\psi\rangle' = \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) |\psi\rangle </math>

hvor <math> \boldsymbol{\phi} = \mathbf{n}\,\phi </math> og

: <math> \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) = e^{-i\hat{\mathbf{J}}\cdot \boldsymbol{\phi}/\hbar} </math>

er [[Kvantemekanikk#Rotasjoner og dreieimpuls|rotasjonsoperatoren]] uttrykt ved dreieimpulsoperatoren for tilstanden som roteres. For en spinor med spinn ''s'' = 1/2 vil denne operatoren da bli

: <math> R(\boldsymbol{\phi}) = e^{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{\phi}/2} </math>

når den skrives i matriserepresentasjonen.<ref name = Sakurai/>

Effekten av denne operatoren kan tydeliggjøres ved å betrakte en rotasjon om ''z''-aksen. Da tar den formen

: <math> \begin{align} R(\phi) &= e^{-i\sigma_z\phi/2} \\ &= 1 - i{\phi\over 2}\sigma_z + {1\over 2!} \left(-i{\phi\over 2}\sigma_z\right)^2 + {1\over 3!} \left(-i{\phi\over 2}\sigma_z\right)^3 + \cdots \end{align} </math>

Ved nå å benytte at <math> \sigma_z^2 = 1, </math> forenkles dette til

: <math> \begin{align} e^{-i\sigma_z\phi/2} &= \Big(1 -  {1\over 2!} \left({\phi\over 2}\right)^2 + \cdots \Big) - i\sigma_z\Big({\phi\over 2} -  {1\over 3!}\left({\phi\over 2}\right)^3 + \cdots \Big) \\ &=  \cos{\phi\over 2} -  i\sigma_z\sin{\phi\over 2} \end{align} </math>

Mer generelt vil en rotasjon ''&phi;&thinsp;'' om en vilkårlig akse gitt ved enhetsvektoren '''n''' resultere fra transformasjonen

: <math>  R_\mathbf{n} (\phi) = e^{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,\phi/2} = \cos{\phi\over 2} - i \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\sin{\phi\over 2} </math>

når man gjør bruk av at <math>  (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})^2 = 1. </math> En full rotasjon på 360&deg; som tilsvarer ''&phi;'' = 2''&pi;&thinsp;'' radianer, gir da en rotasjonsmatrise som ganske enkelt er {{nowrap|''R''&thinsp;(2''&pi;''&thinsp;) {{=}} -1}}. Først etter to fulle omdreininger med ''&phi;'' = 4''&pi;&thinsp;'' vil spinoren komme tilbake til seg selv. Dette resultatet er uavhengig av hvilken akse som rotasjonen foretas rundt.<ref name = Griffiths/>