Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Operatorer og egenverdier===

Den tidsuavhengige [[Schrödinger-ligning]]en kan skrives som

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{r}) \Big] \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) </math>

der nå den reduserte Planck-konstanten {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;&thinsp;''}} inngår. På venstre side kan man betrakte

: <math> \hat{H} = -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{r}) </math>

som en «energioperator» som. virker på en [[bølgefunksjon]] ''&psi;''('''r'''). Den fremkommer fra den klassiske [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjonen]] og omtales derfor som [[Hamilton-operator]]en. Da tar ligningen formen <math>  \hat{H}\psi = E\psi, </math>  og de tillatte energiene sies å være [[egenverdi]]er  til denne operatoren. De tilsvarende bølgefunksjonene er operatorens [[Egenvektor|egenfunksjoner]]. I dette tilfellet gir disse funksjonene en matematisk beskrivelse av kvantetilstander med bestemt energi.<ref name = Bohm/>

Ved å definere en «impulsoperator» som <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} </math>  med komponenter <math>\hat{p}_a = -i\hbar{\partial\over \partial x_a}, </math> kan Hamilton-operatoren i dette tilfellet skrives som

: <math> \hat{H} =  {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\mathbf{r}) </math>

Det gjør det mulig å finne denne direkte fra det klassiske uttrykket for energien til partikkelen hvor den [[kinetisk energi|kinetiske]] delen uttrykkes ved partikkelens impuls.

I denne bølgemekanikken vil en partikkel med en bestemt impuls '''p''' beskrives av en bølgefunksjon som er en egenfunksjon av impulsoperatoren. Den må derfor tilfredsstille <math> \hat\mathbf{p} \psi = \mathbf{p}\psi </math> og er derfor gitt ved den enkle [[differensialligning]]en

: <math> -i\hbar\boldsymbol{\nabla} \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}) = \mathbf{p}\, \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}) </math>

Den har som løsning <math>  \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}) = A e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar} </math> hvor ''A'' er en konstant. Bølgefunksjonen for en partikkel med bestemt impuls er derfor en [[komplekst tall|kompleks]] funksjon. Den inneholder ingen informasjon om partikkelens posisjon i overensstemmelse med [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]]. Men funksjonen er vanligvis ikke en egenfunksjon for Hamilton-operatoren. Det er tilfelle kun for frie partikler hvor potensialet ''V'' = 0. En bunden partikkel har ikke noen veldefinert impuls, men vil likevel ha bestemte energier. Dette kan lett illustreres ved å betrakte løsninger av Schrödinger-ligningen i enkle, [[Schrödinger-ligning#Endimensjonale eksempel|1-dimensjonale eksempel]].<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>