Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

===Normaliserte bølgefunksjoner===
[[Fil:Hydrogen Density Plots.png|thumb|500px|Grafisk fremstilling av de laveste bølgefunksjonene <math> \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) </math> for hydrogenatomet.]]
Fra Schrödinger-ligningen er dermed de fullstendige egenfunksjonene for elektronet i H-atomet funnet å være

: <math>\psi_{n\ell m}(\mathbf{r}) = N_{n\ell} \rho^\ell e^{-\rho/2}L^{2\ell + 1}_{n_r}(\rho) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

hvor det radielle kvantetallet ''n<sub>r</sub>'' = ''n'' - ℓ - 1 og ''N''<sub>''n''ℓ</sub>&thinsp; er en normeringskonstant som må bestemmes. Den radielle koordinaten er nå

: <math> \rho = {2r\over\hbar}\sqrt{-2m_e E_n} = {2r\over na} </math>

der ''a'' = ''a''<sub>0</sub>/''Z'' kan identifiseres med radius i den innerste, sirkulære banen i en klassisk beskrivelse hvor ''a''<sub>0</sub> er den vanlige Bohr-radius.  Normeringskonstanten ''N''<sub>''n''ℓ</sub>&thinsp; bestemmes nå fra den vanlige betingelsen

: <math> \int\!d^3r \;\psi^*_{n\ell m}(\mathbf{r}) \psi_{n'\ell' m'}(\mathbf{r}) = \delta_{nn'}\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'} </math>

som uttrykker at disse løsningene danner et [[kvantemekanikk|orthonormalt sett]] av tilstander.<ref name = BJ> B.H. Bransden and C.J. Joachain, ''Quantum Mechanics'', Prentice Hall, New York (2000). ISBN 978-0-582-35691-7.</ref>

Bølgefunksjonene tar nå formen

: <math> \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi)  =  R_{n\ell}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

med den radielle delen

: <math>  R_{n\ell}(r) = N_{n\ell}(2r/na)^\ell e^{-r/na} L^{2\ell + 1}_{n - \ell - 1}(2r/na) </math>

Da normeringesintegralet på denne måten er blitt redusert til det radielle integralet

: <math> \int_0^\infty\!dr r^2  R^2_{n\ell}(r) = 1, </math>

kan normeringskonstantene bestemmes til å være

: <math> N_{n\ell} = {2\over n^2}\sqrt{(n - \ell - 1)!\over a^3(n + \ell)!} </math>

Ved å benytte uttrykkene for de laveste [[Laguerre-polynom]]ene blir dermed de tilsvarende, radielle bølgefunksjonene

: <math>\begin{align}R_{1s}(r) &= \sqrt{4\over a^3}e^{-r/a} \\ R_{2s}(r) &=  \sqrt{1\over 8a^3}\left(2 - {r\over a}\right)e^{-r/2a} \\
R_{2p}(r) &=  \sqrt{1\over 24a^3}{r\over a} e^{-r/2a} \end{align}</math>

De to ''s''-tilstandene her har den egenskapen at de tilsvarende bølgefunksjonene har en endelig verdi når ''r'' &rarr; 0. Det betyr at elektronet har en viss sannsynlighet for også å befinne seg inni atomkjernen. Dette er en egenskap ved alle slike tilstander med ℓ = 0 og følger fra den spesielle verdien <math>L^1_{n-1}(0) = n</math> for Laguerre-polynomet. Generelt har man dermed en verdi 

: <math> \psi_{n00}(\mathbf{r} = 0) = {2\over n^2}\sqrt{(n-1)!\over a^3 n!} {n\over\sqrt{4\pi}} = \sqrt{1\over \pi a^3n^3} </math>

for den fulle bølgefunksjonen i dette spesielle punktet. Den kan observeres direkte i [[hyperfinstruktur]]en til hydrogenatomet.<ref name = BJ/>