Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

==Tvungen svingning==

Av stor praktisk og teoretisk betydning er forståelsen av hvordan en dempet oscillator beveger seg når den er påvirket av en ytre kraft ''F''(''t''&thinsp;) som varierer med tiden. Oscillatoren sies da å være «drevet» og vil utføre en tvungen [[svingning]] beskrevet ved bevegelsesligningen

: <math> m\ddot{x} + kx + b\dot{x} = F(t) </math>

Den er fremdeles en lineær, men inhomogen på grunn av leddet på høyre side. Generelt vil den ha mange forskjellige løsninger avhengig av tilstanden til oscillatoren når kraften begynner å virke. Betrakter man to forskjellige løsninger <math> x_1(t) </math> og <math> x_1(t), </math> vil da differensen <math> x_1 - x_2 </math> oppfylle den homogene ligningen. Den er uavhengig av kraften, men bestemt av begynnelsesbetingelsene. Kalles dette en «homogen løsning»  <math> x_h(t), </math> vil hver løsning av den fulle ligningen kunne skrives som

: <math> x(t) = x_h(t) + x_p(t) </math>

Her er <math> x_p(t) </math> én bestemt, «partikulær løsning» av den inhomogene ligningen. Når oscillatoren er dempet, vil den homogene løsningen etter en stund gå mot null. Derfor er den stabile tilstanden til en drevet oscillatoren gitt ved den partikulære løsningen, uavhengig av begynnelsesbetingelsene.<ref name = BO/>

En partikulær løsning av en lineær differensialligning kan formelt finnes ved bruk av [[Greens funksjon]]. For det spesielle tilfellet at kraften varierer harmonisk med en viss frekvens, kan en eksplisitt løsning finnes. Etter en viss tid som er bestemt av dempningen, vil oscillatoren da begynne å svinge på en stabil måte. Når frekvensen til kraften nærmer seg egenfrekvensen ''&omega;''<sub>0</sub> til oscillatoren, kan amplituden til utslaget bli meget stort. Oscillatoren oppfører seg da som en [[resonator]]. Denne form for [[resonans]] er spesielt viktig for [[vekselstrøm|elektriske svingekretser]] og danner grunnlaget for all [[radio]]teknologi.<ref name="Tipler">P. Tipler,  ''Physics for Scientists and Engineers'', W. H. Freeman, New York (2004). ISBN 0-7167-0809-4.</ref>

===Harmonisk kraft===

Når kraften varierer med frekvens ''&omega;'', kan bevegelsesligningen til oscillatoren skrives 

: <math> \ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2x = b \cos\omega t </math>

hvor konstanten ''b&thinsp;'' angir styrken av den drivende kraften. Den partikulære løsningen vil nå svinge med samme frekvens ''&omega;'', men med en ukjent [[amplitude]] ''a''. Den kan beregnes ved å beskrive den ytre kraften som den reelle delen av den komplekse kraften {{nowrap|''f''&thinsp;(''t&thinsp;'') {{=}} ''b&thinsp;e''<sup>-''i&omega;t''</sup>}}. Det betyr at den søkte løsningen har den tilsvarende formen 
[[Fil:Mplwp resonance zeta envelope.svg|thumb|360px|Amplituden til den drevne oscillatoren som funksjon av ''&omega;''/''&omega;''<sub>0</sub> der dempningen er uttrykt ved &zeta; = ''&gamma;''/''&omega;''<sub>0</sub>. ]]

: <math> z(t) = a e^{-i\omega t} </math>

hvor nå amplituden ''a&thinsp;'' i alminnelighet vil være kompleks. Det fysiske utslaget ''x''(''t''&thinsp;) er den reelle delen av denne komplekse funksjonen.

Når denne løsningsformen innsettes i differensialligningen, finnes amplituden som

: <math> a = {b\over \omega_0^2 - 2i\gamma\omega - \omega^2} </math>

Skriver man den komplekse nevneren i brøken  som

: <math>  \omega_0^2 - 2i\gamma\omega - \omega^2 = R e^{-i\theta} </math>

med [[Komplekst tall#Polarform|absoluttverdi]]  <math> R = \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2} </math> og fasevinkel gitt ved <math> \tan\theta = 2\gamma\omega/ (\omega_0^2 -\omega^2), </math> blir dermed utslaget til den tvungne svingningen

: <math> x(t) = {b\over R}\cos(\omega t - \theta) </math>
 
Nevneren ''R&thinsp;'' blir mindre og mindre desto nærmere den påtrykte frekvensen ''&omega;&thinsp;'' er oscillatorens grunnfrekvens ''&omega;''<sub>0</sub>. Det betyr at størrelsen til amplituden av utslaget øker til en maksimalverdi  ved [[resonans]] der {{nowrap|''&omega;''/''&omega;''<sub>0</sub> {{=}} 1}}.