Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

===Normering===

Bølgefunksjonen <math> \psi(x) = u(p) e^{-ip\cdot x/\hbar} </math> for en fri Dirac-partikkel kan normeres på flere forskjellige vis. Mest hensiktsmessig er at dette blir gjort på den samme, kovariante måten som for relativistiske [[Klein-Gordon-ligning#Normering|Klein-Gordon-partikler]]. Da definerer man et indreprodukt mellom to slike funksjoner basert på integralet over ladningstettheten <math> J_0 = \psi^\dagger\psi .</math> Det gir normeringen

: <math>\begin{align} (\psi,\psi') &=  \int\! d^3 x \,\psi^\dagger(x)\psi'(x) \\ &= u^\dagger(p) u(p) \int\! d^3 x\, e^{i(\mathbf{p} - \mathbf{p}')\cdot\mathbf{x}/\hbar} \end{align} </math>

som man da vil skal ha verdien

: <math> (\psi,\psi') = 2E (2\pi\hbar)^3 \delta({\mathbf{p} - \mathbf{p}'}) </math>

Det betyr at Dirac-spinorene må være normert slik at

: <math> u^\dagger(p)u(p) = v^\dagger(p)v(p) = 2E </math>

En direkte utregning gir nå normeringskonstantene <math> A = B = \sqrt{E + m} </math> når 2-komponentspinorene som angir spinnretningen, er normert som <math> \phi^\dagger\phi = \chi^\dagger\chi = 1. </math> De relativistiske spinorene tar dermed den endelige formen

: <math> u_s(p) =  \sqrt{E + m} \begin{pmatrix} 1 \\  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \end{pmatrix} \phi_s </math>

: <math> v_s(p) =  \sqrt{E + m} \begin{pmatrix}  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \\ 1 \end{pmatrix} \chi_s </math>

hvor indeksen ''s'' = 1,2 avhengig av om partikkelen har spinn opp eller ned. Denne normeringen betyr også at indreproduktet 

: <math> \bar{u}(p)u(p) = -  \bar{v}(p)v(p) = 2m </math> 

er som forventet en Lorentz-skalar.<ref name = Tony> I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, ''Gauge Theories in Particle Physics'', Institute of Physics Publishing, Bristol (1989). ISBN 0-85274-328-9.</ref>

For beregning av [[Feynman-diagram]] med Dirac-partikler opptrer også ofte produktene

: <math> \begin{align} & \sum_s u_s(p) \bar{u}_s(p) = p\!\!\!/ + m  \\ & \sum_s v_s(p) \bar{v}_s(p) = p\!\!\!/ - m  \end{align} </math>

Begge sidene av disse ligningene er nå 4&times;4 matriser.