Redigerer Den spesielle relativitetsteorien (avsnitt)

==Tidsdilatasjon==
[[Fil:Light-clock.svg|280px|right|thumb|Illustrasjon av en lysklokke hvor avstanden mellom speilene er ''d'' i dens hvilesystem.]]

En såkalt ''lysklokke'' er oppstilt på toget som beveger seg med jevn hastighet ''v'' langs ''x''-aksen. Den består av to speil. Det ene ligger på gulvet i toget, og det andre er montert under taket direkte over. Avstanden mellom speilene er ''d''. En lyspuls blir sendt opp fra gulvet og reflektert tilbake. Dette er et tikk av klokken som derfor markerer en økning av tiden på toget med ''&Delta;t' = 2d/c''.

Når klokken blir observert fra stasjonen, er den i bevegelse. Etter et tikk ''&Delta;t'&thinsp;'' på klokken i toget er lyspulsen tilbake igjen på gulvet. Men dette skjer et annet sted i det stasjonære referansesystemet på stasjonen da toget i mellomtiden har forflyttet seg med ''v&Delta;t'' hvor ''&Delta;t = 2D/c''. Her er ''D'' halve strekningen lyset har tilbakelagt i dette tidsrommet. Den er hypotenusen i en [[rettvinklet trekant]] hvor de to andre sidene er ''d'' og  ''v&Delta;t/2'' som vist i figuren til høyre, 

: <math> D = \sqrt{d^2 +(v\Delta t/2)^2}  </math>

Ved å innsette dette i uttrykket for ''&Delta;t'', får man en implisit ligning for dette tikket. Den kan lett løses med resultatet<ref name = ModernPhysics/>

: <math> \Delta t = {\Delta t'\over \sqrt{ 1 - v^2/c^2}}. </math>

De observerte tikkene på bakken er derfor lengre enn de på toget,  ''&Delta;t > &Delta;t' ''. Klokken på toget som beveger seg, ser ut til å gå saktere enn den stasjonære klokken. Dette er [[tidsdilatasjon]] som er et generelt og meget viktig resultat. En observatør på toget som hadde betraktet stasjonsuret, ville også på samme måte ha observert at det gikk langsommere enn hans eget.

===Konsekvens av Lorentz-transformasjonen===
[[File:Nonsymmetric velocity time dilation.gif|thumb|200px|For den stasjonære observatøren med den blå klokken, ser den røde klokken ut til å gå langsommere enn hans egen klokke.]]

Dette resultatet kan også leses direkte ut av Lorentz-transformasjonen for tiden i de to inertialsystemene. Lysklokken er hele tiden på samme sted ''x' '' i toget slik at etter et tikk ''&Delta;t' '' vil tiden i det stasjonsbaserte systemet være

: <math> t + \Delta t =  {t' + \Delta t' + vx'/c^2\over \sqrt{1 - v^2/c^2}}   </math>

Skriver man her til venstre i ligningen ''t'' uttrykt ved ''t' '' og ''x' '', følger resultatet for tidsdilatasjonen  med en gang. 

En observatør på toget som betrakter stasjonsuret, vil også se at det går langsommere med samme faktor. For å vise det, kan man bruke den inverse transformasjonen

: <math> t'  =  {t  - vx/c^2\over \sqrt{1 - v^2/c^2}}   </math>

og så benytte at  for stasjonsuret er dets posisjon ''x'' den samme hele tiden. Alle klokker som beveger seg relativt til en observatør, vil for denne observatøren se ut til å gå langsommere. Denne effekten er illustrert i animasjonen her.

===Egentid===

En observatør har alltid med seg sin egen klokke. Når den er riktig synkronisert, kan han på den avlese sin '''egentid''' som vanligvis betegnes med ''&tau;''. En klokke på toget viser tiden ''t'&thinsp; '' for en observatør som sitter i ro ved den. Han kan med den avlese sin egentid. Den tikker med intervall ''&Delta;t'&thinsp; '' som kan relateres til det tilsvarende intervallet  ''&Delta;t'' som stasjonsuret behøver for ett tikk. Nå er ''&Delta;t'<sup>&thinsp;2</sup> = &Delta;t<sup>&thinsp;2</sup>( 1 - v<sup>2</sup>/c<sup>2</sup>)'' slik at man kan skrive forandringen i egentiden ''&Delta;&tau; =  &Delta;t' &thinsp;'' for observatøren på toget som

: <math> \Delta \tau = \Delta t (1 - v^2/c^2)^{1/2} </math>

uttrykt ved den tilsvarende tiden ''t'' brukt i det stasjonære referansesystemet. For en partikkel som [[foton|fotonet]] som beveger seg med lyshastigheten, gir dette null. Et foton har derfor ikke noen egentid. Det skyldes at det ikke har noe hvilesystem hvor den kan måles.<ref name = Pais/>

Dette fundamentale resultatet har en overraskende konsekvens. Hvis man i stedet for et tog tenker seg en rakett som beveger seg med en hastighet 
''v = (3/5)c'' fra Jorden ut til en stjerne i ''&Delta;t = 5'' år og tilbake til igjen, så vil alt ha blitt ''10'' år eldre her på jorden. Men en klokke ombord i raketten vil ved hjemkomsten bare vise at ''8'' år var forløpt. Man antar da at oppstart av raketten og senere nedbremsning tar såpass kort tid at det kan sees bort fra. Dette betyr at observatørene på raketten er blitt to år yngre enn de som ble igjen på Jorden. Dette er det såkalte [[tvillingparadokset]] som også Einstein kommenterte i sitt første arbeid. Men han kalte det ikke noe paradoks, bare en interessant konsekvens av den spesielle relativitetsteorien.

Hastigheten til den bevegelige klokken er ''v = &Delta;x/&Delta;t'' hvor ''&Delta;x'' er den strekningen den tilbakelegger i det stasjonære systemet
i tiden ''&Delta;t''. Derfor kan man skrive at forandringen i egentid er ''&Delta;&tau; = &Delta;s/c'' hvor 

: <math> (\Delta s)^2 = c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 </math>

kalles et "romtidsintervall" eller '''linjeelement'''.<ref name =TaylorWheeler/> Det er nå lett å vise at størrelsen av linjeelementet er det samme hvis det blir målt i et annet inertialsystem. Man sier at det er '''invariant''' under Lorentz-transformasjoner. Og det er ikke så overraskende da det jo gir forandringen av egentiden til en og samme observatør, noe som er uavhengig av hva andre observatører måler.